71. Выпуклость, вогнутость и кривизна.

Случаи выпуклости и вогнутости кривой в сторону положительных ординат представлены на рис. 74 и 75.

Одна и та же кривая может, конечно, состоять и из выпуклых и из вогнутых частей (рис. 76).

Рис. 74.

Рис. 75.

Рис. 76.

Точки, отделяющие выпуклые части кривой от ее вогнутых частей, называются точками перегиба.

Если будем, двигаясь по кривой в сторону возрастания следить за изменением угла а, образуемого касательной с положительным направлением оси ОХ, то увидим (рис. 76), что на участках выпуклости этот угол убывает, а на участках вогнутости возрастает. Такое же изменение, следовательно, будет претерпевать и а, т. е. производная так как с увеличением (уменьшением) угла а и а увеличивается (уменьшается). Но промежутки убывания суть те промежутки, где производная этой функции отрицательна, т. е. и точно так же промежутки возрастания суть те промежутки, где Мы получим, таким образом, теорему: Кривая обращена выпуклостью в сторону положительных ординат на тех участках, где и вогнутостью на тех, где

Точки перегиба суть те ее точки, при переходе через которые меняет знак.

Из этой теоремы мы путем рассуждений, аналогичных приведенным раньше рассуждениям [58], получаем правило нахождения точек перегиба кривой: чтобы найти точки перегиба кривой, надо определить те значения при которых обращается в нуль или не существует, и исследовать изменение знака при переходе через эти значения пользуясь следующей таблицей:

Наиболее естественное представление об искривлении кривой мы получим, если будем следить за изменением угла а, составляемого касательной с осью ОХ при движении по кривой. Из двух дуг одинаковой длины та дуга будет более искривлена, для которой касательная повернется на больший угол, т. е. для которой приращение будет больше. Эти соображения приводят нас к понятию о средней кривизне и о кривизне в данной точке: средней кривизной дуги называется абсолютная величина отношения угла между касательными в концах этой дуги к длине дуги. Предел этого отношения при стремлении к нулю называется кривизной кривой в данной точке (рис. 77).

Рис. 77.

Таким образом, для кривизны С мы получаем выражение:

Но tg a есть первая производная т. е.

откуда, дифференцируя по сложную функцию

Как мы только что показали

Деля на получим окончательно выражение для кривизны

На участках выпуклости надо брать знак (—), а на участках вогнутости знак для того, чтобы С получило положительное значение.

В тех точках кривой, где не существует производных У или не существует и кривизны. Вблизи тех точек, где обращается в нуль, и, следовательно, кривизна обращается в нуль, кривая походит на прямую. Это будет, например, вблизи точек перегиба.

Положим, что координаты у точек кривой выражены через длину дуги s. В этом случае, как мы видели

Угол а будет также функцией s, и, дифференцируя написанные равенства по получим

Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, будем иметь

откуда

Величина обратная кривизне, называется радиусом кривизны.

Для радиуса кривизны R мы будем иметь, в силу (5), следующее выражение

или

причем значение корня берется положительным.

В случае прямой линии у есть многочлен первой степени от а потому тождественно равна нулю, т. е. вдоль всей прямой кривизна равна нулю, а радиус кривизны — бесконечности.

В случае окружности радиуса будем иметь, очевидно (рис. 78):

т. е. радиус кривизны вдоль всей окружности постоянен. Впоследствии мы увидим, что таким свойством обладает только окружность.

Заметим, что изменение радиуса кривизны совсем не так наглядно, как изменение касательной. Рассмотрим линию, состоящую из отрезка АВ прямой и дуги ВС окружности, касательной к отрезку в конце В (рис. 79). На участке АВ радиус кривизны равен бесконечности, на участке же ВС он равен радиусу окружности и, таким образом, в точке В он терпит разрыв непрерывности, хотя при этом направление касательной меняется непрерывно. Этим обстоятельством объясняются толчки вагонов на поворотах. Допустим, что величина скорости движения вагона v остается неизменной. В этом случае, как известно из механики, сила будет направлена по нормали к траектории и равна где есть масса движущегося тела и - радиус кривизны Н траектории. Отсюда видно, что в точках разрыва непрерывности радиуса кривизны и сила будет претерпевать разрыв непрерывности, что и обусловливает толчок.

Рис. 78.

Рис. 79.

Рис. 80.