51. Некоторые дифференциальные уравнения.

Мы показали, что, заменяя в промежутке приращение функции ее дифференциалом, мы применяем закон прямой пропорциональности между приращениями функции и независимой переменной с соответствующим коэффициентом пропорциональности, и что такая замена приводит к ошибке, которая является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с На этом основано применение анализа бесконечно малых к исследованию явлений природы.

Наблюдая некоторый процесс, стараются разбить его на малые элементы, к каждому из которых, пользуясь его малостью, применяют закон прямой пропорциональности. В пределе получают таким образом уравнение, представляющее собою соотношение между независимой переменной, функцией и их дифференциалами (или производной). Уравнение это называется дифференциальным уравнением, соответствующим рассматриваемому процессу. Задача нахождения самой функции по дифференциальному уравнению есть задача интегрирования дифференциального уравнения.

Итак, при применении анализа бесконечно малых к изучению какого-либо закона природы, необходимо составить дифференциальное уравнение рассматриваемого закона природы и проинтегрировать его. Эта последняя задача обычно бывает гораздо труднее первой, и о ней мы будем говорить впоследствии. В дальнейших примерах выведем дифференциальные уравнения, соответствующие некоторым простейшим явлениям природы.

1. Барометрическая формула. Давление атмосферы рассчитываемое на единицу площади, есть, очевидно, функция высоты h над поверхностью земли. Рассмотрим вертикальный цилиндрический столб воздуха с площадью поперечного сечения, равной единице. Проведем два поперечных сечения А и на высотах h и При переходе от сечения А к сечению давление уменьшится на величину, равную весу воздуха, который заключается в части цилиндра между А и

Если мала, можем приближенно считать плотность воздуха в этой части цилиндра постоянной. Площадь основания столбика равна единице, его высота и, следовательно, объем а искомый вес Итак, уменьшение равно

Согласно закону Бойля — Мариотта, плотность пропорциональна давлению :

и мы окончательно получаем дифференциальное уравнение

2. Химические реакции первого порядка. Пусть некоторое вещество, масса которого есть а, вступает в химическую реакцию. Обозначим буквою ту часть этой массы, которая ужа вступила в реакцию к моменту времени t, отсчитываемому от начала реакции. Очевидно, есть функция от t. Для некоторых реакций можно приближенно считать, что количество вещества вступившее в реакцию за промежуток времени от момента t до момента при малом пропорционально и количеству вещества, которое к моменту t оставалось не вступившим в реакцию:

Преобразуем это дифференциальное уравнение, вводя вместо новую функцию где у обозначает массу, которая остается не вступившей в реакцию к моменту времени t. Принимая во внимание, что а есть постоянная, получим

и дифференциальное уравнение химических реакций первого порядка может быть переписано в виде

3. Закон охлаждения. Положим, что некоторое тело, нагретое до высокой температуры, помещается в среду, имеющую постоянную температуру 0°. При охлаждении тела его температура 0 будет функцией времени t, которое мы будем отсчитывать от момента помещения тела в среду. Количество тепла отданного телом за промежуток времени будем приближенно считать пропорциональным длительности этого промежутка и разности температур тела и среды к моменту времени t (закон охлаждения Ньютона). Мы можем тогда написать

Обозначив буквою k теплоемкости тела, имеем

где мы пишем знак (—), так как в рассматриваемом случае отрицательно (температура понижается). Сравнивая эти два выражения получим

с есть величина постоянная, если мы будем считать теплоемкость k постоянной.

Выведенные нами дифференциальные уравнения имеют одинаковую форму. Все они выражают то свойство, что производная пропорциональна самой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности .

В [38] мы показали, что при непрерывных процентах с основного капитала а через t лет образуется наращенный капитал , где k — процентная такса, выраженная в сотых долях:

Вычисляя производную, получим

т. е. в этом случае мы получаем то же свойство пропорциональности производной и самой функции, благодаря чему свойство это называют законом сложных процентов. Впоследствии мы покажем, что функция (7) дает все решения дифференциального уравнения (8) при произвольном значении постоянной а, вместо которой будем писать С.

Таким образом, решения наших уравнений могут быть представлены в виде (заменяя k на —с):

где С — постоянная. Определим теперь физическое значение постоянной С в каждой из предыдущих формул. Подставляя в первую из формул получим

где есть, таким образом, давление атмосферы при , т. е. на поверхности земли. Вторая из формул при даст нам

т. е. С есть масса, не вступившая в реакцию в начальный момент времени, и ее мы раньше обозначали буквою а. Наконец, подставляя в третью из формул (9), убедимся также, что С есть начальная температура тела в момент его помещения в среду. Итак, окончательно имеем