133. Разложение arctg x.

Здесь мы будем поступать так же, как и при разложении . Мы имеем

Получаем, интегрируя,

где , как и в примере из [98], имеет главное значение. Мы имеем, следовательно,

где

Ряд

для которого отношение

наверно, расходится при нам поэтому достаточно ограничиться случаем , т. е.

Считая сначала из формулы (42), в силу VII [95], получим:

так как, очевидно,

Если , то, вводя вместо t новую переменную, , получим

Здесь верхний предел уже положителен, а потому опять имеет место указанная выше оценка для , т. е. разложение

имеет место при всех значениях не превосходящих единицу по абсолютному значению.

В частности, при получаем

Ряд этот, ввиду весьма медленной сходимости, непригоден для вычисления числа . Ряд (44) сходится тем быстрее, чем меньше Положим, например,

Мы имеем

Так как мало отличается от единицы, то угол мало отличается . Введем эту малую разность

Отсюда выводим

что

Оба ряда в скобках — знакопеременные [123], а потому, ограничившись в каждом из них лишь написанными членами, мы сделаем ошибку, не превосходящую

Желая получить с точностью до мы будем вычислять отдельные члены с семью знаками, так как тогда ошибка при определении не превзойдет

а ошибка при определении не превзойдет

Вычисление будем производить по следующей схеме:

Значение числа с восьмью знаками есть 3,141 591 65.

Можно получить при разложение