§ 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ

137. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Понятие об абсолютно сходящемся ряде было дано в [124]. Теперь мы установим важнейшие его свойства.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.

Докажем это предложение сперва для рядов с неотрицательными членами, которые, как мы знаем [120], могут быть только или сходящимися (а потому и абсолютно сходящимися), или собственно расходящимися.

Итак, пусть дан сходящийся ряд с положительными (неотрицательными) членами

Обозначим через сумму его первых членов, через - его сумму. Мы имеем, очевидно,

Переставив члены ряда (1) каким угодно образом, мы получим другое распределение членов, которому будет соответствовать ряд

состоящий из тех же членов, что и (1), но в другом порядке, так что каждый член из ряда (1) имеет определенный номер в ряде (2), и наоборот. Обозначим через сумму первых членов ряда (2). При любом значении можно найти настолько большое число , чтобы все члены, входящие в сумму вошли в а потому

Таким образом, показано существование, постоянного числа в, не зависящего от такого, что при всех значениях имеем

откуда [120] вытекает сходимость ряда (2). Обозначим через с его сумму. Очевидно, что

Переставив в предыдущих рассуждениях ряды (1) и (2), мы таким же путем покажем, что

и из неравенств вытекает

Обратимся теперь к рядам с какими угодно членами. Так как по условию ряд (1) абсолютно сходящийся, то ряд с положительными членами

сходится и по доказанному сумма его не зависит от порядка слагаемых. С другой стороны, оба ряда

(ср. [124]) также имеют положительные члены и также сходятся, так как общий член каждого из них не превосходит т. е. общего члена сходящегося ряда (3).

В силу доказанного каждый из них не зависит от порядка членов; не будет зависеть от порядка членов и разность их, которая совпадает с суммой ряда (1), что и требовалось доказать.

Следствие. В абсолютно сходящемся ряде можно каким угодно образом группировать слагаемые и складывать их затем уже по группам, ибо такая группировка приводит к перемене порядка слагаемых, отчего сумма ряда изменится.

Замечание. Если из абсолютно сходящегося ряда выделить любую последовательность его членов, то полученный таким путем ряд также будет абсолютно сходящимся, так как такому выделению соответствует выделение последовательности членов в ряде (3) с положительными членами, что, очевидно, не нарушает сходимости этого ряда. В частности, будут сходящимися ряды, составленные в отдельности из положительных и отрицательных членов сходящегося ряда. Обозначим через s сумму ряда, составленного из положительных членов, и через сумму ряда, составленного из отрицательных членов. При беспредельном возрастании сумма первых членов всего ряда может содержать сколь угодно много членов из обоих упомянутых рядов, и в пределе, очевидно, получим

Нетрудно показать, что когда ряд сходится не абсолютно, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, являются собственно расходящимися. Так, например, для неабсолютно сходящегося ряда [124]

ряды

расходятся. Сумма первых членов первого ряда стремится к а второго ряда к при беспредельном возрастании п. Пользуясь указанным выше обстоятельством, Риман показал, что, меняя надлежащим образом порядок членов неабсолютно сходящегося ряда, можно сделать его сумму равной какому угодно числу. Таким образом, оказывается, что понятие об абсолютно сходящемся ряде тождественно с понятием о ряде, сумма которого не зависит от порядка слагаемых.

Заметим еще, что если мы в каком-нибудь сходящемся (не обязательно абсолютно сходящемся) ряде переставим местами конечное число слагаемых, то суммы первых членов останутся при всех достаточно больших теми же, т. е. сходимость ряда не нарушится, и сумма ряда останется прежней. Предыдущее же рассуждение и результаты относятся и к тому случаю, когда переставляют бесконечное число слагаемых.