61. Теорема Ферма.

Выше мы изложили, пользуясь элементарными геометрическими соображениями, способы исследования возрастания и убывания функций, нахождения их максимумов и минимумов, а также наибольших и наименьших значений. Сейчас мы переходим к строгому аналитическому изложению некоторых теорем и формул, которые дадут нам аналитическое доказательство справедливости приведенных выше правил, а также позволят продвинуть исследование функций еще несколько дальше. В дальнейшем изложении мы будем уже вполне отчетливо и подробно перечислять все условия, при которых соответствующие теоремы и формулы имеют место.

Теорема Ферма. Если функция непрерывна в промежутке , в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную и в некоторой точке внутри промежутка достигает наибольшего (или наименьшего) значения, то в этой точке первая производная равна нулю, т. е. .

Итак, положим для определенности, что значение является наибольшим значением функции. Для того случая, когда это есть наименьшее значение, доказательство может быть проведено совершенно аналогичным образом.

Итак, согласно условию, точка лежит внутри промежутка и разность будет отрицательной или, во всяком случае, не положительной, при любом h как положительном, так и отрицательном:

Составим отношение

Числитель написанной дроби, как сказано, меньше или равен нулю, а потому

Точка лежит внутри промежутка, и в ней по условию существует производная, т. е. написанная выше дробь стремится к определенному пределу если h стремится к нулю любым образом. Положим сначала, что h стремится к нулю со стороны положительных значений. При этом, переходя к пределу в первом из неравенств (5), получим

Точно так же переход к пределу при 0 во втором неравенстве (5) дает

Сопоставляя эти неравенства, мы получим требуемый результат: