34. Непрерывность функции.

Приведем еще раз определение непрерывности функции в точке с, если эта функция определена в этой точке и вблизи нее слева и справа.

Определение. Функция , определенная при и всех значениях х, достаточно близких к с, называется непрерывной при х = с (в точке с), если существует предел при и этот предел равен f(с):

Напомним, что это равносильно тому, что существуют пределы слева и справа и Что эти пределы равны между собою и равны , т. е. .

Из сказанного в [32] следует, что это равносильно также следующему: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число , что

Не нужно оговаривать, что , ибо при Иначе это можно формулировать так: при Разность с есть приращение независимой переменной, а разность соответствующее приращение функции. Поэтому указанное выше определение непрерывности часто формулируют так:

Функция называется непрерывной в точке х - с, если бесконечно малому приращению независимой переменной (от начального значения х - с) соответствует бесконечно малое приращение функции.

Заметим, что свойство непрерывности, выражаемое равенством (18), сводится к возможности находить предел функции простой подстановкой вместо независимой переменной ее предела.

Из формул, приведенных в конце [28], мы видим, что целый многочлен от и частное таких многочленов, т. е. рациональная функция от суть функции, непрерывные при любом значении кроме тех значений, при которых знаменатель рациональной функции обращается в нуль.

Непрерывной, очевидно, будет и функция сохраняющая при всяком одно и то же значение [12].

Все элементарные функции, рассмотренные нами в первой главе (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные круговые), непрерывны при всех значениях при которых они существуют, кроме тех значений, при которых они обращаются в бесконечность.

Так, например, есть непрерывная функция от при всех положительных значениях есть непрерывная функция от при всех значениях кроме значений

где k есть любое целое число.

Отметим еще функцию , где u и v суть непрерывные функции от причем предполагается, что и не принимает отрицательных значений. Такая функция называется степенно-показательной. Она точно так же обладает свойством непрерывности, исключая те значения , при которых и и v одновременно равны нулю или .

Высказанное нами утверждение о непрерывности элементарных функций нуждается, конечно, в доказательстве, но мы примем это без доказательства. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Докажем только непрерывность функции при любом пользуясь определением (19). Мы имеем [ср. 31]

откуда следует

Но при любом угле a, и, следовательно,

Чтобы иметь , где — заданное положительное число, достаточно считать, что т. е. роль в определении (19) может играть число е.

Нетрудно показать, что сумма или произведение произвольного конечного числа непрерывных функций есть также непрерывная функция; то же относится и к частному двух непрерывных функций за исключением тех значений независимой переменной, при которых. знаменатель обращается в нуль.

Рассмотрим лишь случай частного. Положим, что функции непрерывны при и что Составим функцию

Пользуясь теоремой о пределе частного, получим

что и доказывает непрерывность частного при

Отметим один простой пример. Раз есть непрерывная функция от , то , где b — постоянная, также будет непрерывной функцией, так как она является произведением непрерывных функций (см. выше) и

Вернемся теперь еще к функции При эта функция неопределенна, но мы знаем, что Поэтому, если мы положим при , то у будет непрерывной функцией в точке

Подобное нахождение предела функции при стремлении к ее точке неопределенности называется раскрытием неопределенности, а самый предел, если он существует, называют иногда истинным значением функции в ее упомянутой точке неопределенности. В дальнейшем мы будем иметь много примеров раскрытия неопределенностей.