183. Представление гармонического колебания в комплексной форме.

Гармоническое затухающее колебание выражается формулой

где — положительные постоянные. Введем в рассмотрение комплексную величину

Вещественная часть этой комплексной величины совпадает с выражением (44). Таким образом, мы можем представить любое гармоническое затухающее колебание как вещественную часть комплексного выражения вида:

где — комплексные числа. В случае формулы (45):

В случае чисто гармонического колебания без затухания будет числом вещественным. Выражение (45) для С совпадает с выражением (43) при

Отсюда видно, что при изменении t точка С описывает логарифмическую спираль, причем полярный угол есть линейная функция времени

т. е. радиус-вектор из начала координат в точку С вращается вокруг начала с постоянной угловой скоростью Проекция точки С на ось ОХ совершает затухающие колебания (44). Если то точка С движется по окружности и ее проекция на ось ОХ движется по закону гармонического колебания без затухания: