144. Равномерно сходящиеся последовательности функций.

Последовательность функций

которую мы рассматривали выше, была определена с помощью ряда означало сумму первых членов ряда. Но можно рассматривать последовательность (42) саму по себе, считая ее данной, и уже по ней построить ряд, суммой первых членов которого является член последовательности Члены этого ряда определяются, очевидно, по формулам:

Очень часто последовательность (42) бывает проще (43), как это имело место и в рассмотренных примерах.

Таким путем мы приходим к понятиям о сходящейся и равномерно сходящейся последовательности функций:

Если дана последовательность функций (42):

определенных в промежутке и если при каждом значении в этом промежутке существует предел

то последовательность (42) называется сходящейся в промежутке функция же называется предельной функцией последовательности (42).

Если, сверх того, при любом данном наперед положительном существует такое число N, не зависящее от что неравенство:

имеет место при всех значениях во всем промежутке , то последовательность (42) называется равномерно сходящейся в промежутке Условие (45) можно заменить равносильным ему

Условие равномерной сходимости последовательности (42) равносильно условию равномерной сходимости ряда

где

Равносильность условий (45) и (46) при исследовании равномерной сходимости последовательностей может быть доказана совершенно так же, как выше была установлена равносильность условий (35) и (36) для бесконечных рядов. Отметим еще, что из равномерной сходимости в промежутке непосредственно следует и равномерная сходимость в любой части

Понятие о равномерной сходимости последовательностей может быть истолковано и геометрически.

Рис. 159.

Рис. 160.

Если мы изобразим графически функции при различных значениях , то для равномерно сходящейся последовательности наибольший отрезок ординаты, заключенной между кривыми должен стремиться к нулю, при для всех из для неравномерно сходящейся последовательности это условие не будет выполнено.

Обстоятельство это наглядно проверяется на рис. 159 и 160, сделанных Для разобранных выше примеров:

В случае рис. 160 предельная функция графически изображается отрезком (0, 1) оси ОХ, исключая точку 1, и отдельной точкой с координатами (1, 1).

Правда, в последнем примере предельная функция не непрерывна. Но нетрудно привести пример сходящейся последовательности, предельная функция которой непрерывна, но которая тем не менее сходится неравномерно. Таким свойством обладает хотя бы последовательность (рис. 161)

Мы имеем, очевидно, при

и, при первый множитель справа а второй стремится к т. е. при При очевидно, при всяком , и, следовательно, при всех из (0, а), где а — некоторое положительное число,

Рис. 161.

Однако максимальная величина отрезка ординаты между кривыми которая в рассматриваемом случае приводится просто к ординате кривой так как будет у и будет соответствовать значению Так как она не стремится к нулю при то последовательность (48) не будет равномерно сходящейся в промежутке (0, а); и, действительно, если мы хотим, чтобы было

то, решая относительно неравенство 2-й степени

и считая достаточно малым, получим

Функция эта возрастает беспредельно при что и обуславливает неравномерную сходимость последовательности.

Заметим, наконец, что те же рис. 160 и 161 показывают, что последовательность равномерно сходится в промежутке где q — любое положительное число, меньшее единицы, а последовательность равномерно сходится в промежутке , где в чем нетрудно убедиться и непосредственным вычислением.