193. Способ итерации.

Во многих случаях, имея приближенное значение искомого корня 6 с небольшим числом цесятичных знаков, удобно улучшать это приближенное значение корня. Одним из способов такого исправления приближенного значения корня является способ итерации, или способ последовательных приближений. Этот способ, как выяснится из дальнейшего, годится не только для алгебраического, но и для трансцендентных уравнений.

Положим, что уравнение

мы переписали в виде

причем таково, что уравнение

при любом вещественном имеет один вещественный корень, который легко вычислить с большой степенью точности. Вычисление корня уравнения (29) при помощи метода итерации состоит в следующем: подставляя приближенное значение искомого корня в правую часть уравнения (29), определяем второе приближение к искомому корню из уравнения

Подставляя в правую часть (29) для следующего приближения решаем уравнение и т. д. Таким образом определится последовательность значений

иричем

Нетрудно указать геометрический смысл полученных приближений. Искомый корень есть абсцисса точки пересечения кривых

и

На рис. 183 и 184 изображены обе эти кривые, причем в случае рис. 183 производные имеют в точке пересечения одинаковые знаки, а в случае рис. 184 — разные знаки, и в обоих случаях

Равенствам (31) соответствует следующее построение: проводим прямую параллельную оси , до пересечения ее в точке с кривой (32 а); через эту точку пересечения проводим прямую параллельную оси ОХ, до пересечения ее в точке с кривой через точку проводим опять прямую параллельную оси OY, до пересечения ее с кривой (322) в точке через эту последнюю точку проводим прямую до пересечения ее с кривой (32,) в точке и т. д.

Рис. 183.

Рис. 184.

Абсциссы точек пересечения и дают нам последовательность (30).

Если первое приближение взято достаточно близко к , то эта последовательность, как видно из чертежа, стремится к , как к пределу, причем в случае, когда одинаковых знаков, получается ступенчатая ломаная линия, стремящаяся к а если и разных знаков, то эта ломаная линия стремится к , имея форму спирали (черт. 184). Мы не будем приводить условий и строгого доказательства того, что последовательность (30) стремится к как к пределу. Во многих случаях это можно непосредственно обнаружить из чертежа.

Особенно удобен для приложения указанный способ в том случае, когда уравнение (29) имеет вид

Пусть есть корень этого уравнения, приближенное значение которого

нам известно.

Ряд последовательных приближений будет

Можно показать, что действительно при если функция имеет производную которая удовлетворяет условию

в промежутке

Рис. 185.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Его вещественные корни суть абсциссы точек пересечения линий (рис. 185)

и, как видно из рис. 185, уравнение (33) имеет один положительный и два отрицательных корня.

В точках пересечения А и В, соответствующих положительному корню и большему по абсолютному значению отрицательному корню, угловой коэффициент прямой (342) меньше по абсолютному значению, чем угловой коэффициент касательной к кривой т. е. при вычислении этих корней методом итерации уравнение (33) надо представить в виде

Принимая за первое приближение при вычислении положительного корня получим таблицу (1).

Значение дает искомый корень с точностью до четвертого знака. При вычислении отрицательного корня, большего по абсолютному значению, примем за первое приближение и получаем таблицу (II).

В точке С, которой соответствует отрицательный корень, меньший по абсолютному значению, угловой коэффициент касательной к кривой по абсолютному значению меньше единицы, и потому при применении метода итерации уравнение (33) надо представить в виде

Принимая за первое приближение получим таблицу (II).

Во всех трех случаях приближение к корню происходило по ступенчатой линии, как это изображено на рис. 183, в чем нетрудно убедиться из рис. 185, и во всех трех случаях приближения стремятся при увеличении к искомому корню, изменяясь монотонно.

Рис. 186.

Пример 2.

Корни этого уравнения суть абсциссы точек пересечения линий (рис. 186)

и, как видно из рис. 186, уравнение имеет по одному корню в каждом из промежутков

Для положительных корней будет иметь место приближенное равенство

где буквою мы обозначаем положительный корень уравнения (35).

Вычислим корень близкий к у. Для применения метода итерации перепишем уравнение (35) в виде

и примем за первое приближение

При вычислении последовательности приближений

надо всегда брать значение арктангенса, содержащееся в третьей четверти. Пользуясь таблицами логарифмов и выражая дуги в радианном измерении, получим: