35. Свойства непрерывных функций.

Выше мы определили свойство непрерывности функции при заданном значении . Положим теперь, что функция определена в конечном промежутке

Если она непрерывна при любом значении х из этого промежутка, то говорят, что она непрерывна в промежутке . Заметим при этом, что непрерывность функции на концах промежутка состоит в следующем:

Все непрерывные функции обладают следующими свойствами:

1. Если функция непрерывна в промежутке то существует в этом промежутке, по крайней мере, одно такое значение при котором принимает свое наибольшее значение и, по крайней мере, одно такое значение при котором функция принимает свое наименьшее значение.

2. Если функция непрерывна в промежутке причем и если k — любое число, заключающееся между , то существует в промежутке по крайней мере, одно такое значение при котором значение равно k; в частности, если разных знаков, то существует внутри промежутка по крайней мере, одно такое значение при котором обращается в нуль.

Эти два свойства становятся непосредственно ясными, если принять во внимание, что в случае непрерывности функции соответствующий ей график будет представлять собою непрерывную кривую. Это замечание не может, конечно, служить доказательством. Самое понятие о непрерывной кривой, наглядное с первого взгляда, оказывается чрезвычайно сложным при ближайшем его рассмотрении. Строгое доказательство указанных двух свойств, так же как и следующего, третьего, основано на теории иррациональных чисел. Мы примем эти свойства без доказательства.

В последних номерах настоящего параграфа мы выясним основы теории иррациональных чисел и связь этой теории с теорией пределов и свойствами непрерывных функций. Заметим, что второе свойство непрерывных функций можно еще формулировать так: при непрерывном изменении от а до b непрерывная функция проходит, по крайней мере, один раз через все числа, лежащие между

На рис. 48 и 49 изображен график непрерывной в промежутке функции, у которой На рис. 48 график один раз пересекает ось ОХ, и при соответствующем значении X функция обращается в нуль. В случае рис. 49 таких значений будет не одно, а три.

Мы переходим теперь к третьему свойству непрерывных функций, которое является менее наглядным, чем два предшествующих.

3. Если непрерывна в промежутке и если есть некоторое значение из этого промежутка, то в силу условия (19) [34] (заменяя с на ) для любого заданного положительного существует такое зависящее, очевидно, от , что

причем мы считаем, конечно, также принадлежащим промежутку . (Если, например, то обязательно больше а, а если то Но число может зависеть не только от , но и от того, какое именно значение из промежутка мы рассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается в том, что на самом деле для любого заданного в существует одно и то же для всех значений из промежутка

Рис. 48.

Рис. 49.

Иными словами, если непрерывна в промежутке то для любого заданного положительного существует такое положительное что

для любых двух значений из промежутка удовлетворяющих неравенству

Это свойство называется равномерной непрерывностью. Таким образом, если функция непрерывна в промежутке (а, b), то она будет равномерно непрерывна в этом промежутке.

Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию непрерывной не только для всех лежащих внутри промежутка но и для значений

Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одном простом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства в другом виде, заменяя букву на и на . При этом представляет собою приращение независимой переменной и соответствующее приращение функции.

Свойство равномерной непрерывности запишется так:

где любые две точки из промежутка (а, b).

Для примера рассмотрим функцию

В данном случае мы имеем

При любом заданном значении выражение дающее приращение нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращение независимой переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается [34], что взятая функция непрерывна при всяком значении х. Тем самым она будет непрерывна, например, в промежутке . Покажем, что она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. Нам нддо удовлетворить неравенству

соответствующим подбором числа в неравенстве причем должны принадлежать промежутку имеем

Но наибольшее значение в промежутке равно двум, и потому мы можем заменить предыдущее неравенство более сильным:

Будем считать во всяком случае . При этом и мы можем переписать предыдущее неравенство в виде:

Неравенство (22) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним условию . Таким образом, h должно удовлетворять двум неравенствам

Следовательно, за число мы можем взять наименьшее из двух чисел 1 и

При малых s (а именно при мы должны взять во всяком случае очевидно, что найденное будет, при заданном , одним и тем же для всех из промежутка

Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывных функций или функций, непрерывных только внутри промежутка. Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 46. Она определена на промежутке и имеет разрыв при Среди ее значений имеются сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного единице, и значений, больших единицы. Таким образом, среди значений этой функции нет наибольшего. Точно так же среди этих значений нет и наименьшего. Элементарная функция не принимает внутри промежутка (0, 1) ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если рассматривать эту же функцию в замкнутом промежутке (0, 1), то она будет достигать своего наименьшего значения при х = 0 и наибольшего при х = 1.

Рассмотрим еще функцию, непрерывную в промежутке открытом слева.

При стремлении х к нулю аргумент беспредельно растет, и колеблется между и не имеет предела при Покажем, что указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке Рассмотрим два значения: где — целое положительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку при любом выборе . Далее, мы имеем

Таким образом,

При беспредельном возрастании целого положительного числа разность стремится к нулю, а разность остается равной единице. Отсюда видно, что не существует положительного для промежутка такого, что из (21) следует это соответствует выбору в формуле (20).

Возьмем функцию При первый множитель стремится к нулю, а второй не превышает единицы по абсолютной величине, а потому при При второй множитель не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив т. е. будем считать при , то получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке (0, 1). Функции обладают, очевидно, непрерывностью при любом отличном от нуля.