если эти пределы существуют.
Мы положим в этом случае
Функция 
определенная формулой (14), обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами:
во всех точках 
кроме 
непрерывна во всем промежутке 
включая 
.
Если точка с совпадает с одним из концов промежутка 
надо рассматривать вместо двух только один из пределов:
Наконец, если точек разрыва с в промежутке 
не одна, а несколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой из которых будет уже только по одной точке разрыва.
При сделанном выше соглашении о смысле символа
свойство IX и формула (15)
будут наверно иметь место, если 
во всех точках 
кроме 
непрерывна во всем ппомежутке 
включая 
Утверждение это достаточно доказать для случая одной точки разрыва с внутри промежутка 
так как случай нескольких точек разрыва и случай, когда с — а или b, исследуются совершенно аналогичным образом.
Так как в промежутках 
функция 
также непрерывна, то к этим промежуткам применима формула (15), и мы имеем
В силу непрерывности 
мы можем написать
т. е.
что и требовалось доказать.
С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается тогда, когда кривая 
имеет разрыв в точке с, но так, что площадь кривой все же существует. Рассмотрим, например, график функции, определенной следующим образом:
(рис. 124). Площадь, ограниченная этой кривой, осью ОХ, ординатой 
и переменной ординатой 
есть непрерывная функция от 
несмотря на то, что функция 
терпит разрыв при 
С другой стороны, нетрудно найти первообразную функцию для 
которая была бы непрерывна во всем промежутке (0, 3).
Это будет, например, функция 
определяемая следующим образом:
Действительно, дифференцируя, убеждаемся, что
в промежутке (0, 2) и 
в промежутке (2, 3).
Рис. 124.
Кроме того, оба написанных выражения 
при 
дают одну и ту же величину 2, что и обеспечивает непрерывность 
. Площадь, ограниченная нашей кривой, осью ОХ и ординатами 
выразится формулой
в чем нетрудно убедиться и непосредственным рассмотрением чертежа.
Рис. 125.
Рассмотрим еще функцию 
. Она обращается в бесконечность при 
, но ее первообразная функция 
остается непрерывной при этом значении 
а потому можем написать
другими словами, хотя рассматриваемая кривая при приближении 
к нулю уходит в бесконечность, тем не менее она имеет совершенно определенную площадь между ординатами 
Для функции первообразная функция обращается сама в бесконечность при 
формула (15) неприменима к этой функции в том случае, когда точка 0 лежит внутри промежутка 
кривая 
в таком промежутке конечной площади не имеет.
Заметим, что интегралы от разрывных функций в конечном промежутке 
в. некоторых случаях имеют смысл и непосредственно, как пределы сумм, указанных в начале [94]. Это будет иметь, например, место в том случае, когда 
имеет конечное число точек разрыва в промежутке 
и ограничена в нем, т. е. существует такое положительное число 
что 
при всех 
из 
Значения в точках разрыва не влияют при этом на величину интеграла. Мы будем говорить об этом в [116].
Если же функция не ограничена, т. е. 
принимает сколь угодно большие значения, то непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно. Это имеет место для примера, соответствующего рис. 125. Здесь необходимо определять интеграл как интеграл по укороченному промежутку с дальнейшим переходом к пределу
Такие интегралы называются обычно несобственными.
Для функции 
не существует конечного предела
Такие интегралы называются расходящимися. Указанный выше интеграл от 
называется сходящимся, поскольку указанные выше пределы при 
и существуют.
В следующем параграфе мы рассмотрим несобственные интегралы по бесконечному промежутку. В этом последнем случае непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно и интеграл по существу несобственный.
непрерывна во всем промежутке интегрирования 
имеется точка с, в которой подынтегральная функция 
терпит разрыв, но при этом интегралы
стремятся к нулю, то эти пределы называются определенными интегралами от функции 
взятыми соответственно между пределами 
, т. е.
