ГЛАВА VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

§ 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

170. Комплексные числа.

Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел. Это, как мы покажем дальше, оказывается возможным.

Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе. Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениями при расширении понятия о числе.

Мы знаем, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси ОХ, или же как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начало координат; обратно — всякому отрезку или точке на оси ОХ соответствует определенное вещественное число.

Если теперь вместо одной оси ОХ рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям ОХ, OY, то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.

Если условимся не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси ОХ, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси ОХ.

В частности, вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси ОХ, соответствует вещественное число единица.

Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси О У, сопоставим символ , называемый мнимой единицей. Всякий вектор MN плоскости может быть представлен как сумма двух векторов МР и PN, параллельных осям координат (рис. 168). Вектору МР; параллельному оси ОХ, соответствует некоторое вещественное число а. Вектору PN, параллельному оси ОК, пусть соответствует символ , где b — вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора PN и которое будет положительным, если направление PN совпадает с положительным направлением оси ОY, и отрицательным, если направление PN противоположно положительному направлению О К Таким образом, естественно, вектору MN сопоставить комплексное число, имеющее вид

Рис. 168.

Отметим тот факт, что знак в написанном выражении не есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа.

После определения сложения комплексных чисел мы вернемся к рассмотрению этого знака.

Вещественные числа а и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора MN на координатные оси.

Отложим от начала координат вектор ОА (рис. 168), совпадающий по длине и направлению с вектором MN. Конец этого вектора А будет иметь координаты и этой точке А мы можем сопоставить то же комплексное число что и векторам MN и ОА

Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости) соответствует определенное комплексное число а Ы. Вещественные числа а и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки).

Придавая в выражении буквам а и b всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел; а называется вещественной и мнимой частью комплексного числа.

В частном случае вектора, параллельного оси ОХ, комплексное число совпадает со своей вещественной частью:

Таким образом, вещественное число а мы считаем частным случаем комплексного числа.

Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление, т. е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, т. е. условие равенства комплексных чисел будет

В частности,

Вместо того, чтобы определить вектор MN его проекциями а и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиною и углом который направление MN образует с положительным направлением оси ОХ (рис. 168). Если же мы считаем, что комплексное число соответствует точке с координатами то f и будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Как известно, имеют место соотношения:

Положительное число называется модулем, аргументом комплексного числа Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного так как всякий вектор MN совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки М. В случае комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно неопределенен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным

Вещественное число имеет аргумент если оно положительное, и если оно отрицательное, где k — любое целое число. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число имеет вид и называется чисто мнимым. Соответствующий такому числу вектор параллелен оси ОY, и аргумент чисто мнимого числа равен если , и , если

Модуль вещественного числа совпадает с его абсолютным значением. Для обозначения модуля числа пишут это число между двумя вертикальными чертами:

В дальнейшем мы будем часто обозначать комплексное число одной буквой. Если а есть комплексное число, то его модуль будет обозначаться символом Пользуясь выражением (3) для а и можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде

В этом случае говорят, что комплексное число написано в тригонометрической форме.