48. Производные сложных и обратных функций.
Напомним понятие о сложной функции 
функция, непрерывная в некотором промежутке 
причем ее значения принадлежат промежутку 
. Пусть далее, 
функция, непрерывная в промежутке 
. Понимая под у вышеуказанную функцию от 
мы получим сложную функцию от 
Говорят, что эта функция зависит от 
через посредство у. Нетрудно видеть, что эта функция будет непрерывна в промежутке 
. Действительно, бесконечно малому приращению 
соответствует бесконечно малое приращение у в силу непрерывности функции 
а бесконечно малому приращению у соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F(у).
Прежде чем переходить к выводу правила дифференцирования сложной функции сделаем одно замечание. Если 
имеет производную при 
то, согласно сказанному в [45], мы можем написать
где переменная а есть функция 
определенная при всех 
достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем 
если 
оставаясь отличным от нуля. Равенство (3) остается справедливым для 
при любом выборе а, ибо при 
. В силу сказанного выше естественно положить 
при 
. При таком соглашении мы можем считать, что в формуле (3) а 
если 
любым образом, даже и принимая значение, равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложной функции.
Теорема. Если 
имеет в точке 
производную 
имеет в точке 
производную 
то сложная функция 
имеет в точке 
производную, равную произведению 
Пусть 
приращение (отличное от нуля), которое мы придаем значению 
независимой переменной 
соответствующее приращение переменной у (оно может оказаться и равным нулю). Пусть, далее, 
Производная от сложной функции 
по 
при 
равна, очевидно, пределу отношения при 
если этот предел существует.
Разделим обе части (3) на 
При стремлении 
к нулю и 
в силу непрерывности функции 
в точке 
, а потому, как мы указали выше, 
. Отношение стремится при этом к производной 
и, переходя в написанном выше равенстве к пределу, получим
что и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность 
при 
вытекает из предположенного существования производной 
[45].
Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования сложных функций: производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной:
Переходим к правилу дифференцирования обратных функций. Если 
непрерывна и возрастает в промежутке (а, b) (т. е. большим значениям х соответствуют и большие у), причем 
то, как мы знаем [21 и 44], в промежутке 
существует однозначная и непрерывная обратная, также возрастающая функция 
. В силу возрастания, если 
, то и 
, и наоборот, и в силу непрерывности из 
следует 
и наоборот. (Совершенно аналогично рассматривается случай убывающих функций).
Теорема. Если 
имеет в точке 
производную 
отличную от нуля, то обратная функция 
имеет в точке 
производную
Обозначая через 
соответствующие приращения 
и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем написать:
Как мы видели выше, 
одновременно стремятся к нулю, и последнее равенство в пределе и приводит к (4). Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования обратных функций: производная обратной функции равна единице, деленной на производную первоначальной функции в соответствующей точке.
Рис. 53.
Правило дифференцирования обратных функций имеет простое геометрическое истолкование [21]. Функции 
имеют один и тот же график на плоскости XOY с той лишь разницей, что для функции 
ось независимой переменной есть ось 
, а не ОХ (рис. 53). Проводя касательную МТ и вспоминая геометрическое значение производной, получим
причем на рис. 53 угол 
, как и а, считается положительным. Но, очевидно, 
следовательно,
Если 
есть функция, обратная 
то, очевидно, и наоборот — функцию 
можно считать обратной функции
Применим правило дифференцирования обратных функций к показательной функции.
Обратная функция в данном случае будет 
и, в силу VII,
откуда по правилу дифференцирования обратных функций
В частном случае при 
имеем
Полученная формула, вместе с правилом дифференцирования сложных функций, даст нам возможность вычислить производную от степенной функции.
XIV. 
; 
— любое вещественное число).
Эта функция при всех 
определена и имеет положительные значения [191.
Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функции
Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций, получим
Этот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных значений 
если только сама функция при этом существует, например, 
Применим правило дифференцирования обратных функций к нахождению производных обратных круговых функций.
Мы рассматриваем главное значение [24] этой функции, т. е. ту дугу, которая находится в промежутке —у, Функцию эту можно рассматривать как обратную функцию по отношению к функции 
и, согласно правилу дифференцирования обратных функций, имеем
причем у радикала надо брать знак 
, так как 
имеет знак 
в промежутке 
, Точно так же можно получить
причем рассматривается главное значение 
т. е. та дуга, которая заключается в промежутке 
.
Главное значение 
заключается в промежутке 
, и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношению к функции 
следовательно,
Точно так же получим
XVII. Рассмотрим еще дифференцирование функций вида:
где 
— функции от х (степенно-показательная функция).
Мы можем написать
и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим
Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя 
, как сложную функцию от 
будем иметь окончательно
или
