169. Примеры.

1. Требуется найти кратчайшее расстояние от точки до плоскости

Квадрат расстояния от данной точки до переменной точки выражается формулой

В данном случае координаты у, z) должны удовлетворять уравнению (32) (точка должна находиться на плоскости). Найдем минимум выражения (33) при условии (32). Составляем функцию

Приравнивая нулю ее частные производные по получим

Подставляя эти значения в условие (32), можем определить

Мы получили единственный ответ, и так как наименьшее значение должно существовать, то ему и должны соответствовать найденные значения переменных. Подставляя значения (34) в выражение (33), получаем выражение для квадрата расстояния от точки до плоскости:

где X определяется по формуле (35).

2. Разложить данное положительное число а на три положительных слагаемых так, чтобы выражение

было наибольшим — данные положительные числа).

Найдем максимум выражения (36) при условии

Вместо максимума выражения (36) можно искать максимум его логарифма

Составляем функцию

Приравнивая нулю ее частные производные, получим

и соотношение (37) дает

то есть

причем найденные значения переменных суть положительные числа. Можно показать, что при поставленных условиях выражение (36) должно иметь наибольшее значение, и единственность ответа показывает, как и в примере 1, что найденным значениям переменных и соответствует, именно, наибольшее значение выражения (36).

Рис. 167.

Формулы (38) показывают, что для решения задачи число а надо разбить на части, пропорциональные показателям .

Предлагаем читателю в последних двух примерах провести исследование достаточных условий по методу, указанному в предыдущем параграфе.

3. Проводник длины разветвляется на одном из своих концов на k отдельных проводников длин причем сила тока в соответствующих частях проводника есть Спрашивается, как надо выбрать площади, поперечных сечений отдельных частей проводника для того, чтобы при данной разности потенциалов Е для цепей пошло наименьшее количество материала V (рис. 167).

Обозначим буквою с сопротивление проволоки из данного вещества, длина которой и площадь поперечного сечения равны единице.

Функция V переменных наименьшее значение которой ищется, будет

Принимая во внимание данную разность потенциалов Е, можем написать k соотношений

Составим функцию

Приравнивая нулю частные производные от Ф по получим

Из условий (39) получим

обозначив буквою а общую величину этих отношений, можем написать

Из уравнений (40) имеем

Подставив эти выражения в первое из уравнений (40), получим

или

откуда окончательно

Подставляя это выражение в соотношения (41), получим для

Таким образом, необходимые условия максимума и минимума V дают нам единственную систему положительных значений для но из физических соображений ясно, что при некотором выборе площадей поперечных сечений должно получаться наименьшее количество материала, и можно поэтому утверждать, что полученные значения и дадут решения задачи.