21. Многозначность функции.

Во всех графиках элементарных функций, которые мы рассмотрели выше, характерным был тот факт, что прямые, перпендикулярные оси ОХ, пересекали график не больше, чем в одной точке, и большею частью именно в одной точке. Это значит, что у функции, определяемой этим графиком, заданному значению соответствует одно определенное значение у. Иначе про такую функцию говорят, что она однозначна.

Если же прямые, перпендикулярные оси ОХ, пересекают график в нескольких точках, то это значит, что заданному соответствует несколько ординат графика, т. е. несколько значений у. Такие функции называются многозначными. Мы уже упоминали о многозначных функциях раньше [5].

Если прямая функция однозначна, то обратная функция может оказаться и многозначной. Это видно, например, из рис. 25.

Разберем подробнее один элементарный случай. На рис. 13 изображен сплошной линией график функции Если повернуть чертеж вокруг биссектрисы первого координатного угла на 180°, то получится график обратной функции (рис. 26).

Рассмотрим его подробнее. При отрицательных х (левее оси ОY) прямые, перпендикулярные оси ОХ, вовсе не пересекают графика, т. е. функция не определена при х < 0. Это соответствует тому факту, что корень квадратный из отрицательного числа не имеет вещественных значений. Наоборот, при любом положительном прямая, перпендикулярная оси ОХ, пересекает график в двух точках, т. е. при заданном положительном мы имеем две ординаты графика: MN и MN Первая ордината дает для у некоторое положительное значение, а вторая дает такое же по абсолютной величине отрицательное значение.

Рис. 26.

Рис. 27.

Это соответствует тому факту, что корень квадратный из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и обратные по знаку. Из чертежа видно также, что при мы имеем одно только значение Итак, функция определена при имеет два значения при и одно при

Заметим, что мы можем сделать нашу функцию однозначной, взяв лишь часть графика на рис. 26. Возьмем, например, только ту часть графика, которая находится в первом координатном угле (рис. 27). Это соответствует тому, что мы рассматриваем лишь положительные значения квадратного корня. Отметим также, что часть графика функции изображенная на рис. 27, получается из той части графика прямой функции которая лежит правее оси . Часть графика функции

лежащая в первом координатном угле, уже была изображена нами на рис. 22.

Займемся теперь тем случаем, когда обращение однозначной прямой функции приводит к однозначной же обратной функции. Для этого нам придется ввести новое понятие.

Функция называется возрастающей, если при увеличении независимой переменной соответствующие значения у возрастают, т. е. если из неравенства следует

При том расположении осей ОХ и ОY, которым мы пользуемся, возрастанию соответствует перемещение по оси ОХ вправо, а возрастанию у — движение по оси OY вверх. Характерной особенностью графика возрастающей функции является тот факт, что при движении вдоль кривой в сторону возрастающих х (вправо) мы движемся и в сторону возрастающих у (вверх).

Рис. 28.

Рассмотрим график какой-нибудь однозначной возрастающей функции, определенной в промежутке . Пусть и причем, очевидно, в силу возрастания функции . Если мы возьмем какое-нибудь значение у из промежутка и в соответствующей точке восставим перпендикуляр к оси ОY, то этот перпендикуляр встретит наш график в одной точке, т. е. всякому у из промежутка отвечает одно определенное значение . Иначе говоря, функция, обратная возрастающей функции, будет однозначной.

Нетрудно видеть из чертежа, что и эта обратная функция будет возрастающей.

Аналогичным образом, функция называется убывающей, если при увеличении независимой переменной соответствующие значения у, наоборот, убывают, т. е. если из неравенства следует Как и выше, можно утверждать, что функция, обратная убывающей функции, будет однозначной убывающей функцией. Отметим еще одно важное обстоятельство. Во всех рассуждениях мы предполагаем всегда, что график функции представляет собою сплошную кривую без разрывов. Этот факт равносилен особому аналитическому свойству функции а именно, непрерывности этой функции. Строгое математическое определение непрерывности функции и исследование непрерывных функций будет нами дано в § 2. Целью настоящей главы являются лишь предварительное ознакомление с основными понятиями, систематическое изучение которых будет дано в следующих главах.

В отношении терминологии заметим, что когда мы говорим о функции без упоминания о ее многозначности, то мы подразумеваем всегда однозначную функцию.