59. Построение графиков.

Разыскание максимумов и минимумов Функции существенным образом облегчает построение графика этой функции.

Выясним на некоторых примерах простейшую схему построения графиков функций.

1. Пусть требуется построить график функции исследованной нами в предыдущем номере. Мы получили там две вершины

этой кривой, а именно, максимум (1, 0) и минимум эти точки на чертеже. Кроме того, полезно отметить и следы искомой кривой на осях. При мы имеем т. е. след на оси будет

Рис. 59.

Рис. 60.

Приравнивая у нулю, т. е.

мы получим следы на оси ОХ. Один из них, как мы уже выяснили, является вершиной, а другой, как это было выяснено в предыдущем номере, вершиной не является, но в соответствующей точке графика касательная параллельна оси ОХ. Искомая кривая изображена на рис. 59.

2. Вычертим кривую

Составим первую производную

Приравнивая у нулю, получим значение которому, как нетрудно видеть, соответствует вершина (максимум) кривой с ординатой Эта же точка дает и след кривой на оси OY. Приравнивая

у нулю, получим уравнение которое не имеет решений, т. е. следов на оси ОХ кривая не имеет. Заметим, кроме того, что при стремлении или показатель степени стремится к и все выражение стремится к нулю, т. е. при беспредельном удалении направо и налево кривая беспредельно приближается к оси ОХ. Соответствующая всем полученным данным кривая изображена на рис. 60.

3. Построим кривую

которая дает график так называемого затухающего колебания.

Множитель по абсолютному значению не превышает единицы, и вся кривая будет расположена между двумя кривыми

При стремлении множитель а следовательно, и все произведение будет стремиться к нулю, т. е. при беспредельном удалении направо кривая будет безгранично приближаться к оси ОХ. Следы кривой на оси ОХ определятся из уравнения

т. е. будут

Определим первую производную

Но выражение, стоящее в круглых скобках, может быть, как известно, представлено в виде

где постоянные. Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение

которое дает

(1)

Когда переходит через эти значения, будет всякий раз менять свой знак. То же можно, очевидно, сказать и относительно производной у, так как

а множитель знака не меняет. Следовательно, этим корням соответствуют поочередно максимумы и минимумы функции. В случае отсутствия показательного множителя мы имели бы синусоиду

и абсциссы ее вершин получились бы из уравнения

т. е.

Мы видим, таким образом, что показательный множитель не только уменьшает амплитуды колебаний, но и смещает абсциссы вершин кривой. Сравнивая уравнения (1) и нетрудно видеть, что это смещение равно постоянной величине . На рис. 61 изображен график затухающего колебания при . Вершины кривой не находятся на пунктирных линиях, соответствующих уравнениям . Это происходит следствие указанного выше смещения вершин.

4. Построим кривую

Составляем производные первого и второго порядка

Приравнивая первую производную нулю, получим значения . Подставляя эти значения во вторую производную, убедимся, что первому значению будет соответствовать минимум, а второму — максимум. Подставляя эти значения в выражение для у, определим соответствующие вершины кривой:

Полагая получим , т. е. начало координат (0, 0) лежит на кривой.

Рис. 61.

Рис. 62.

Наконец, приравнивая у нулю, получим, кроме еще два значения , т. е. окончательно точки пересечения кривой с осями координат будут . Отметим еще, что при одновременной замене х и у на обе части уравнения кривой меняют лишь знак, т. е. начало координат есть центр симметрии кривой (рис. 62).