117. Свойства интегрируемых функций.

Пользуясь найденным выше необходимым и достаточным условием интегрируемости, нетрудно выяснить основные свойства интегрируемых функций.

1. Если интегрируема в промежутке и мы изменим произвольно значения в конечном числе точек из то новая функция будет также интегрируема в и величина интеграла от этого не изменится.

Ограничимся рассмотрением того случая, когда мы изменили значение в одной точке, например в точке а. Новая функция везде совпадает с кроме берем произг вольно. Пусть и М — точные нижняя и верхняя границы Точная нижняя граница будет, очевидно, больше или равна , если и будет если Точно так же точная верхняя граница будет меньше или равна если и будет если Сравнивая сумму (12) для замечаем, что разница может быть только в первом слагаемом (при ). Но это первое слагаемое, очевидно, для стремится к нулю, так как 0 и ограничено. Сумма остальных слагаемых, кроме первого, также, очевидно, стремится к нулю, так как интегрируема, и вся сумма (8) для должна стремиться к нулю. Интегрируемость доказана. Совпадение значений интеграла для очевидно, ибо при составлении сумм (2) мы всегда можем считать отличным от а, а значения во всех точках, кроме совпадают.

II. Если интегрируема в промежутке то она интегрируема в любом промежутке составляющем часть

Это легко следует из того, что сумма (8), состоящая из неотрицательных слагаемых, для промежутка не больше, чем эта сумма для при условии, что в этой последней сумме и суть точки деления. В силу интегрируемости на сумма (8) для стремится к нулю при при любых точках деления. Тем более и сумма для стремится к нулю, если для частичных промежутков из интегрируема на Заметим, что с может совпадать с может совпадать с b. Совершенно так же, как и в [94], доказывается равенство

III. Если интегрируема в то и при любом постоянном с, также интегрируема в

Считая, например, можно утверждать, что для функции надо заменить прежние на Сумма (8) приобретет лишь множитель с и будет по-прежнему стремиться к нулю. Свойство V из [94], очевидно, сохраняется и доказывается по-прежнему.

IV. Если функции, интегрируемые в то их сумма

также интегрируема в

Пусть точные нижние и верхние границы в промежутке Таким образом, все значения в промежутке больше или равны а все значения там же больше или равны Отсюда в промежутке

Точно так же доказывается, что в промежутке Обозначая через точную нижнюю и точную верхнюю границы в промежутке имеем, таким образом,

откуда следует неравенство

то есть

Составляя сумму (8) для получим

Обе суммы, стоящие справа, стремятся к нулю при так как функции по условию интегрируемы. Следовательно, сумма (8) для т. е. сумма

и подавно стремится к нулю, т. е. также интегрируема. Доказательство распространяется легко на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых. Свойство VI из [94] доказывается, как и раньше.

Аналогично предыдущему доказываются следующие свойства:

V. Произведение двух функций, интегрируемых в будет функция, также интегрируемая в

Если интегрируема в и точные нижняя и верхняя границы и М функции одного и того же знака, то и есть функция, интегрируемая в

Если интегрируема в то и ее абсолютное значение также есть функция, интегрируемая в

Неравенство (10) из [95] может быть доказано, как и выше. Совершенно так же остается справедливым и свойство VII из [95], если интегрируемые функции.

Теорема о среднем читается так:

Если интегрируемы в промежутке сохраняет знак в этом промежутке, то

где некоторое число, удовлетворяющее неравенству а — точные нижняя и верхняя границы частности,

Доказательство будет таким же, что и раньше [95]. Пользуясь этой формулой, нетрудно установить, что

есть непрерывная функция от при всех значениях где непрерывна. Наконец, установим основную формулу интегрального исчисления для интегрируемых функций. Пусть непрерывная в промежутке функция, и при любом значении внутри промежутка имеется производная где интегрируемая в функция.

При этом имеет место основная формула

Разбивая промежуток на части и применяя к каждой части формулу конечных приращений [63], можем написать

Далее, суммируя и принимая во внимание, что (III из [116])

мы получим

Равенство это справедливо при любом разбиении промежутка на части ввиду специального выбора точек определяемого формулой конечных приращений (14). Переходя к пределу, получим вместо суммы интеграл

что и требовалось доказать. Заметим, что при определении интеграла значения на концах промежутка не играют роли, в силу свойства 1 настоящего номера.