179. Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа называется показатель степени, в которую надо возвысить чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм символом можем сказать, что равенство

равносильно следующему:

Последнее равенство можно написать так:

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим

то

и окончательно:

т. е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведем ние i на одно из значений аргумента

Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует. Если мы подчиним значение аргумента неравенству

то получим так называемое главное значение логарифма.

Для отличия главного значения логарифма от общего его значения, даваемого формулой (30), пользуются для главного значения обозначением вместо так что

где .

С помощью логарифма определим комплексную степень любого комплексного числа. Если и и v — два комплексных числа, причем и то положим

Заметим, что и, а потому и имеют, вообще говоря, бесчисленное множество значений.

Примеры. 1. Модуль i равен единице и аргумент а потому

2. Определим