5. Понятие о функции.

Чаще всего в приложениях приходится иметь дело не с одной переменной величиной, а с несколькими сразу. Рассмотрим, например, 1 кг воздуха. Переменные величины, определяющие его состояние, будут: давление под которым он находится; объем который он занимает; температура его Предположим пока, что температура воздуха поддерживается равной . Число t есть в данном случае постоянная, равная нулю. Остаются переменные . Если менять то будет меняться и v; например, если воздух сжимать, то объем уменьшается. Давление мы можем менять произвольно (по крайней мере в пределах, доступных технике), а потому мы можем называть независимой переменной; при каждой фиксированной величине давления газ, очевидно, должен занимать вполне определенный объем; стало быть, должен существовать такой закон, который позволяет при каждом значении найти соответствующее ему значение v. Этот закон хорошо известен — это закон Бойля — Мариотта, который гласит, что объем, занимаемый газом при постоянной температуре, обратно пропорционален давлению.

Применяя этот закон к нашему килограмму воздуха, можно найти зависимость между в виде уравнения

Переменная величина v называется в данном случае функцией независимой переменной .

Отвлекаясь от этого частного примера мы можем сказать, что, теоретически говоря, для независимой переменной характерным является множество ее возможных значений, и мы можем по произволу выбирать для нее любое значение из этого множества ее возможных значений. Так, например, множеством значений независимой переменной может служить какой-либо промежуток или внутренность этого промежутка, т. е. независимая переменная может, например, принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству или неравенству Может случиться, что принимает любые целочисленные значения и т. д. В указанном выше примере роль независимой переменной играло , и объем v был функцией р. Дадим теперь определение функции.

Определение. Величина у называется функцией независимой переменной если любому определенному значению множества ее возможных значений) соответствует определенное значение у.

Если, например, у есть функция от определенная в промежутке (а, b), то это значит, что любому значению х из этого промежутка соответствует определенное значение у.

Вопрос о том, какую из двух величин, х или у, считать независимой переменной, есть часто вопрос только удобства.

В нашем примере мы могли бы, меняя произвольно объем v и определяя каждый раз давление , считать независимой переменной у, а давление рассматривать как функцию от а Решая написанное выше уравнение относительно , получим формулу, выражающую функцию через независимую переменную:

Сказанное о двух переменных без труда распространяется и на случай какого угодно числа переменных; и здесь мы можем отличить переменные независимые от зависимых, или функций.

Возвращаясь к нашему примеру, положим, что температура t не будет уже 0° С, а может меняться. Закон Бойля — Мариотта должен быть при этом заменен более сложной зависимостью Клапейрона:

которая показывает, что при изучении состояния газа можно менять произвольно лишь две из величин , v и t, а третья будет полностью определена, если даны значения этих двух. Мы можем принять за независимые переменные, например, и t, тогда v будет функцией от них:

либо же независимыми переменными можно считать v и t, а будет функцией от них.

Приведем другой пример. Площадь S треугольника выражается через длины сторон а, b, с по формуле

где — полупериметр треугольника:

Стороны можно менять произвольно, лишь бы только каждая сторона была больше разности и меньше суммы двух других. Таким образом, переменные а, b, с будут независимыми переменными, ограниченными неравенствами, - функцией от них.

Мы можем также задать произвольно две стороны, например и площадь S треугольника; пользуясь формулой

где С — угол между сторонами а, b, мы можем тогда вычислить С. Здесь уже величины а, b, S будут независимыми переменными, С — функцией. При этом переменные а, b, S должны быть ограничены неравенством

Следует заметить, что в этом примере мы получаем для С два значения, смотря по тому, возьмем ли мы для С острый или тупой из двух углов, имеющих один и тот же синус

Мы приходим здесь к понятию о многозначной функции, о котором подробнее будем говорить ниже.