33. Примеры.

1. Известно, что при любом имеет место неравенство и знак равенства имеет место лишь при Напомним, что величина при этом выражается в радианах. Из сказанного следует, что для любого заданного положительного числа мы имеем если т. е.

2. Далее, имеем:

т. е. , откуда следует, что [27]

3. Рассмотрим частное

Эта функция определена при всех кроме ибо при и числитель и знаменатель обращаются в нуль и дробь теряет смысл.

Рис. 47.

Исследуем изменение у при При изменении знака величина у не меняется, так что достаточно предполагать, что Покажем, что при . Тот же предел получится и при Отметим, что теорему о пределе частного применить нельзя, ибо и числитель и знаменатель стремятся к нулю при

Будем рассматривать как центральный угол в круге радиуса единица (рис. 47). Принимая во внимание, что сектора , получим

откуда, деля на , получим

или

Но при , откуда

и, в силу сказанного выше,

Определим для данного случая число , которое входит в условие Вычитая из единицы три части неравенства (17), получим

откуда следует, что

если . Но, как мы видели выше, и достаточно выбрать . Итак, в данном случае может играть роль числа .