38. Число е.

Рассмотрим один важный для дальнейшего пример переменной величины, а именно, рассмотрим переменную, принимающую значения -

где , возрастая, принимает целые положительные значения и стремится, таким образом, к Применяя формулу бинома Ньютона, получим

Неписанная сумма содержит положительных слагаемых, При увеличении целого числа , во-первых, увеличится число слагаемых , во-вторых, каждое из прежних слагаемых также увеличится так как в выражении общего члена

остается без изменения, а разности, стоящие в круглых скобках, увеличатся при увеличении . Таким образом, мы видим, что рассматриваемая переменная при увеличении увеличивается, и для того, чтобы убедиться в существовании предела этой переменной, достаточно доказать, что она ограничена.

Заменим в выражении общего члена каждую из упомянутых разностей единицей, а все множители, входящие в начиная с 3, заменим на 2. От такой замены общий член увеличится, и мы будем иметь, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии

т. е. переменная ограничена. Обозначим предел этой переменной буквой :

Этот предел не может быть, очевидно, больше 3. В формуле (23) целое может, очевидно, стремиться к любым образом.

Докажем теперь, что выражение стремится к тому же пределу если , принимая любые значения.

Пусть — наибольшее целое число, заключающееся в х, т. е.

Число стремится, очевидно, вместе с Принимая во внимание, что при увеличении положительного основания, большего единицы, и показателя степени увеличивается и сама степень, можем написать

Но, в силу равенства (23),

и

Таким образом, крайние члены неравенства (24) стремятся к пределу , а потому к тому же пределу должен стремиться и средний член, т. е.

Рассмотрим теперь тот случай, когда стремится к . Введем вместо новую переменную полагая

Из последнего равенства видно, что, при стремлении стремится к

Совершая в выражении замену переменных и принимая во внимание равенство (25), получим

Если стремится к имея любые знаки, т. е. то из предыдущего следует, что и в этом случае

Впоследствии мы покажем удобный путь для вычисления числа с любой степенью точности. Число это, как оказывается, есть число иррациональное и с точностью до седьмого десятичного знака оно выражается так:

Нетрудно теперь найти предел выражения , где k — данное число. Пользуясь непрерывностью степенной функции, получим

где буквою у обозначено частное стремящееся к бесконечности одновременно с

Выражения вида встречаются в теории так называемых сложных процентов. Предположим, что приращение капитала происходит ежегодно. Если капитал а отдан из процентов годовых, то по истечении года наращенный капитал будет , где по прошествии второго года он будет и, вообще, по прошествии лет он будет

Положим теперь, что приращение капитала происходит через часть года. При этом число k уменьшится в раз, так как процентная такса рассчитана на год, а число промежутков времени увеличится в раз, и наращенный капитал через лет будет

Пусть, наконец, увеличивается беспредельно, т. е. приращение капитала происходит через все меньшие промежутки времени и в пределе — непрерывно. По прошествии m лет наращенный капитал будет

Примем число за основание логарифмов. Такие логарифмы называются натуральными логарифмами и их обычно обозначают просто знаком без указания основания.

При стремлении переменной к нулю в выражений числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскроем эту неопределенность. Введем новую переменную у, полагая

откуда видно, что, при стремится к бесконечности. Введя эту новую переменную и пользуясь непрерывностью функции при и формулой (26), получим

Из этого ясна целесообразность сделанного выбора основания логарифмов. Точно так же, как при радианном измерении углов, истинное значение выражения при равно единице, в случае натуральных логарифмов истинное значение выражения при тоже равно единице.

Из определения логарифмов вытекает следующее соотношение:

Логарифмируя это соотношение по основанию , получим

Соотношение это выражает логарифм числа N при любом осно вании а через его натуральный логарифм. Множитель М — называется модулем системы логарифмов с основанием при он выражается с точностью до седьмого десятичного знака так: