168. Дополнительные замечания.

Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции при одном дополнительном условии

и предположим, что, например, относительный максимум достигается в точке так что Пусть имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке и ее некоторой окрестности, и предположим, кроме того, что

При этом уравнение (23) определит единственным образом в окрестности функцию непрерывную, с непрерывной производной и такую, что Подставляя в функцию мы можем утверждать, что функция одного переменного должна достигать максимума при и, следовательно, ее полная производная по должна обращаться в нуль при то есть

Подставляя в (23) и дифференцируя по получим в точке

Умножая второе уравнение на X и складывая почленно с первым, получим

Определяя из условия что возможно, в силу (24), будем иметь , т. е. придем к двум уравнениям

к которым надо присоединить еще уравнение чем и оправдывается способ множителей. Если условие (24) не выполнено, т. е. но то можно повторить все предыдущие рассуждения, меняя х и у ролями. Если в точке мы имеем

то мы не можем доказать, что точка получается при помощи правила множителей.

Равенства (26) показывают, что точка является особой точкой кривой (23) [76]. Дадим сейчас пример такой задачи, для которой имеют место условия (26) в точке относительного минимума.

Пусть требуется найти кратчайшее расстояние от точки до точек, лежащих на полукубической параболе изображенной на рис. 87 [76]. Таким образом, ищется минимум функции при условии

Геометрически очевидно, что минимум достигается в точке лежащей на полукубической параболе, причем эта точка является особой точкой параболы. Способ множителей приведет нас к следующим двум уравнениям:

При подстановке первое уравнение приводит к нелепому равенству а второе — удовлетворено при любом А. В данном случае способ множителей не приведет нас к точке (0, 0), в которой достигается относительный минимум.

Совершенно аналогично можно показать, что если в точке функция достигает максимума или минимума, при одном дополнительном условии и притом, по крайней мере, одна из частных производных первого порядка функции отлична от нуля в точке то эта точка может быть получена по способу множителей.

Аналогичны рассуждения и в более общих случаях, но при этом приходится ссылаться на теорему существования неявных функций для систем уравнений, о чем мы упоминали в [157]. Пусть, например, функция достигает относительного максимума в точке при двух дополнительных условиях

и при обычных предположениях существования и непрерывности производных, и пусть мы имеем

При этом уравнения (27) определяют единственным образом функции: такие, что . Подставляя эти функции в функцию получим функцию одного которая имеет максимум при откуда следует

Подставляя указанные функции в (27) и дифференцируя по в точке получим

Умножаем эти равенства на и складываем с предыдущим

Принимая во внимание (28), можем утверждать, что из двух уравнений

мы сможем определить и уравнение (29) после этого приведет нас к равенству

чем и оправдывается способ множителей для данного случая. К уравнениям (30) и (31) надо добавить еще

Вместо условия (28) мы могли бы поставить аналогичное условие, дифференцируя не по а по или по Но если не только выражение, стоящее в левой части (28), но и два других аналогичных выражения, которые получаются при дифференцировании по или по равны нулю, то мы не сможем оправдать способ множителей для точки

Можно показать, что во всех рассмотренных в следующем номере примерах мы не можем иметь такого случая. Так, например, в примере 1 мы имеем одно дополнительное условие (32). и в левой части этого условия, по крайней мере, одно из чисел А, В и С отлично от нуля. Если, например, то производная левой части (32) по z равна числу С и, следовательно, отлична от нуля во всякой точке Это и указывает на то, что в рассматриваемом случае всякий ответ должен получаться по способу множителей.

Приведем теперь короткие указания о достаточных условиях относительного максимума или минимума, ограничиваясь тем случаем, когда мы имеем две независимые переменные. Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции при наличии одной связи . Составляем функцию . Положим, что, приравнивая нулю ее производные первого порядка по и учитывая уравнение связи, мы получали значения . Мы должны испытать полученные значения переменных, т. е. определить знак разности при всех достаточно близких к и удовлетворяющих уравнению связи Введем функцию . Из уравнения связи непосредственно следует, что вместо разности можно взять разность и исследовать ее знак. Частные производные первого порядка функции в точке обращаются по условию в нуль. Разлагая последнюю разность по формуле Тейлора и ограничиваясь членами со вторыми производными, получим выражение вида

где через мы обозначим значения соответствующих частных производных второго порядка функции в точке и через приращения переменных. Положим, что так что уравнение связи определяет причем Из уравнения связи получаем

Подставляя значения выражаем через

Подставляя это выражение в предыдущую формулу и собирая подобные члены, получим

Теперь можно использовать признак максимума и минимума из [163]. Так, например, если АС то в точке функция ) имеет относительный минимум. Из рассуждений, приведенных в [163], непосредственно следует, что для обоснования указанного правила достаточно предположить, что функции имеют в точке и ее окрестности непрерывные производные до второго порядка.

Мы не останавливаемся более подробно на вопросе о достаточных условиях относительного максимума и минимума.

Существенными в предыдущих рассуждениях являлись замена разности разностью у которой производные первого порядка в точке равны нулю, а также факт, что дифференциал зависимого переменного определялся через дифференциалы независимых переменных из уравнения первой степени. Аналогичным образом надо поступать для выяснения достаточных условий и при другом числе переменных и связей.