92. Правило замены переменных. Примеры.

Интеграл часто можно упростить, введя вместо новую переменную t, положив

Для преобразования неопределенного интеграла к новой переменной t по формуле (20) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

Для доказательства в силу свойства I [89] нам достаточно установить совпадение между дифференциалами от левой и правой частей формулы (21). Произведя дифференцирование, имеем

Часто вместо подстановки (20) употребляют обратную

и

Примеры.

Для упрощения интеграла полагаем

Подставив это в данный интеграл, находим

Для вычисления этого интеграла употребляется подстановка Эйлера, о которой более подробно сказано ниже. Новая переменная t вводится здесь по формуле

Для определения х и dx возвышаем в квадрат:

Подставив все это в данный интеграл, имеем

6. Интеграл

вычисляется при помощи особого приема, с которым мы познакомимся подробнее позже, а именно при помощи разложения подынтегральной Функции на простейшие дроби.

Разложив знаменатель подынтегральной функции на множители:

представим ее в виде суммы более простых дробей:

Для определения постоянных А и В освобождаемся от знаменателя, что дает тождество

которое должно иметь место при всех значениях Оно будет выполнено, если определим А и В из условий

Итак, имеем:

7. Интегралы более общего вида:

приводятся к разобранным уже раньше, если в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат. Имеем

Полагаем далее

что дает

где мы положили Положив, наконец,

где знак или нужно взять в зависимости от знака левой части этого равенства и а считается положительным, мы можем переписать данный интеграл в виде:

Первый из этих интегралов вычисляется сразу, если положить

что дает

Второй же интеграл имеет вид, разобранный в примерах .

8. Интегралы вида:

приводятся к разобранным выше тем же приемом выделения полного квадрата. Применяя обозначения примера 7, можем переписать данный интеграл в виде:

Первый из этих интегралов вычисляется при помощи подстановки

которая дает

Второй интеграл уже разобран в примере 5 и равен

Аналогичным приемом выделения полного квадрата интеграл

можно привести к виду:

и имеем

при помощи подстановки Второй интеграл разобран в примере 4.

11. Интеграл

приводится к разобранному уже при помощи интегрирования по частям:

Прибавив и вычтя а в числителе подынтегральной функции последнего интеграла, перепишем предыдущее равенство в виде:

или

откуда окончательно