165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов функции.

Предыдущие рассуждения распространяются и на случай большего числа независимых переменных. Пусть, например, дана функция трех независимых переменных . Для нахождения тех значений независимых переменных, при которых эта функция достигает максимума или минимума, надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными [162]

(13)

Пусть одно из решений этой системы. Наметим кратко путь для исследования этих значений. Формула Тейлора дает нам приращение функции в виде суммы однородных полиномов, расположенных по степеням приращений независимых переменных:

Значения удовлетворяют уравнениям (13). Поэтому

Если совокупность членов второй степени относительно

обращается в нуль только при то знак правой части (14) при достаточно малых по абсолютному значению, совпадает со знаком выражения (15), и если этот знак , то является минимумом функции , если же (—), то мы имеем дело с максимумом. Если выражение (15) может иметь разные знаки, то не является ни максимумом, ни минимумом функции. Если же, наконец, выражение (15), не меняя знака, обращается в нуль при некоторых значениях отличных от то этот случай остается сомнительным и требуется исследование тех членов правой части (14), которые содержат А, k и в степени выше второй.

Приведем полное исследование этого сомнительного случая в частном примере функции двух независимых переменных

Значения обращают в нуль частные производные и

Кроме того, имеем

т. е. мы имеем дело с сомнительным случаем. Характерная особенность этого случая состоит в том, что совокупность членов второго измерения в выражении функции и представляет собою полный квадрат, и мы можем в рассматриваемом примере написать

При и и обращается в нуль. Для исследования знака и при х и у, близких к нулю, введем полярные координаты

Подставляя эти значения и у, получим

При любом значении а в промежутке , отличном от и

и, следовательно, для всякого такого значения а можно выбрать такое положительное число что при знак выражения, стоящего в квадратных скобках, будет При этот знак также будет но при мы получим знак (—), и, следовательно, при функция и не будет иметь ни максимума, ни минимума. Рассмотрим еще функцию

Рис. 165.

Нетрудно проверить, что при частям да производные и обращаются в нуль, и что мы имеем дело с сомнительным случаем. Выбирая для сколь угодно малое значение и полагая мы видим, что функция и приведется к и ее знак будет зависеть от знака т. е. при функция и не будет достигать ни максимума, ни минимума. Вводя полярные координаты, мы получили бы

и из этого выражения видно, что при всяком значении а, не исключая и значений и те, можно найти такое положительное число чтобы было при т. е. на всякой полупрямой, выходящей из начала координат, функция и имеет знак вблизи начала координат. Однако, мы видим, это не влечет за собой минимума в начале координат, где ибо нельзя найти упомянутое число так, чтобы оно было одно и то же для всех значений а.

В [76] мы построили кривую и видели, что она в начале координат имеет точку возврата второго рода, а левая часть этого уравнения имеет знак ) вблизи начала координат, если рассматривать ее значения в точках, заключающихся в заштрихованной области между двумя ветвями кривой (рис. 165).