29. Величины бесконечно большие.

Если переменная величина стремится к пределу, то она, как мы упоминали, очевидно, ограничена.

Теперь мы рассмотрим некоторые случаи изменения неограниченных величин.

Как и раньше, вместе с величиной мы будем рассматривать соответствующую ей точку перемещающуюся по оси ОХ. Пусть эта точка К перемещается так, что какой бы большой отрезок ТТ с серединой в начале координат мы ни взяли, точка К при своем последовательном перемещении окажется вне этого отрезка и при дальнейшем перемещении будет оставаться вне его. В этом случае говорят, что есть величина бесконечно большая, или стремится к бесконечности. Пусть -длина отрезка . Принимая во внимание, что длина отрезка , можем высказать следующее определение:

Величина х называется бесконечно большой, или стремящейся к бесконечности, если при последовательном изменении делается и при дальнейшем изменении остается больше любого заданного положительного числа Иначе говоря: величина называется бесконечно большой при соблюдении следующего условия: при любом заданном положительном числе М существует такое значение переменной что для всех последующих значений соблюдается неравенство

В частности, если бесконечно большая величина при своем следовательном изменении, начиная с некоторого своего значения, остается постоянно положительной (точка К справа от точки то говорят, что стремится к плюс бесконечности ().

Если же величина остается отрицательной (точка К слева от точки О), говорят, что стремится к минус бесконечности .

Для обозначения бесконечно большой величины употребляют символы: Вместо можно, очевидно, писать .

Термин „бесконечно большой" служит лишь для краткого обо значения вышеуказанного характера изменения переменной величины х, и здесь, как и в. понятии бесконечно малой величины, надо отли чать понятие бесконечно большой величины от понятия очень боль той величины.

Если, например, величина принимает последовательно значений 1, 2, 3, то, очевидно, Если ее последовательны значения будут: то и, наконец если эти значения будут: то мы можем напи сать:

Рассмотрим еще в качестве примера величину, принимающую последовательно значения

и пусть - любое заданное число. Неравенство

равносильно следующему:

и, следовательно, если N есть наибольшее целое число, заключаю щееся в частном то будем иметь

т. е. рассматриваемая переменная стремится к

Если в последовательности (5) заменим q на , то изменятся лишь знаки при нечетных степенях абсолютные же значения членов последовательности останутся прежними и, следовательно, при отрицательных значениях по абсолютному значению больших единицы, последовательность (5) стремится к бесконечности.

В дальнейшем, когда мы будем говорить, что переменная величий? стремится к пределу, то будем подразумевать, что этот предел ко нечен. Иногда говорят, что „переменная величина стремится к бескс нечному пределу", обозначая этими словами бесконечно большую величину.

Из предыдущих определений непосредственно вытекает такое следствие: если переменная стремится к нулю, то переменная где - заданная постоянная, отличная от нуля, стремится к бесконечности а если стремится к бесконечности, то — стремится к нулю.