19. Степенная функция.
Функции 
, которые мы выше исследовали, суть частные случаи функции вида
где 
— какие угодно постоянные. Функция (13) вообще называется степенной функцией. При построении кривой мы ограничимся лишь положительными значениями 
и случаем а = 1. На рис. 22 и 23 изображены графики, соответствующие различным значениям п.
Рис. 22.
Рис. 23.
Для всех значений 
уравнение 
дает 
при 
кривые проходят через точку (1, 1). При положительных значениях 
кривые при 
подымаются вверх тем круче, чем больше величина 
(рис. 22). При отрицательных 
(рис. 23) функция 
равносильна дроби. Например, вместо 
можно написать 
В этих случаях при возрастании х ординаты у, наоборот, убывают. Заметим при этом, что при дробном 
с четным знаменателем мы считаем значение радикала положительным; например, 
считаем положительным (при х > 0).
Две постоянные 
, входящие в уравнение (13), определятся, если задать две точки кривой 
после чего окажется
аеля одно уравнение на другое, исключаем а:
затем, логарифмируя, находим 
по формуле
найдя n, из любого из уравнений (14) получим а.
Графический способ построения какого угодно числа точек кривой (13) по двум заданным ее точкам 
изображен на рис. 24. Проводим через точку О два произвольных луча под углом а к оси ОХ и 
к оси ОY; из данных точек 
опускаем перпендикуляры на координатные оси до пересечения их с лучами в точках 
и с осями в точках 
Рис. 24.
Через точку 
проводим 
параллельно 
и через точку 
проводим 
параллельно 
. Проводя, наконец, через 
прямые, параллельные соответственно осям ОХ и ОY, получим в их пересечении точку 
кривой. Действительно, из подобия треугольников находим
т. е.
откуда
и точно так же можно показать, что
Принимая во внимание (14), находим
т. е. точка 
лежит действительно на кривой (13), что и требовалось доказать.
