12. Линейная функция.

Простейшая функция, которая вместе с тем имеет важные приложения, — двучлен первой степени:

где а и b — данные числа. Эта функция называется линейной функцией. Мы покажем, что ее график — прямая линия. Рассмотрим сначала тот случай, когда число b равно нулю. При этом функция (2) имеет вид:

Она выражает тот факт, что переменная у прямо пропорциональна переменной х, и число а называется коэффициентом пропорциональности.

Значения

удовлетворяют уравнению (3), т. е. соответствующий этому уравнению график проходит через начало координат О.

Рис. 5.

Рис. 6.

Обращаясь к чертежу (рис. 5), мы видим, что уравнение (3) выражает следующее геометрическое свойство исследуемого графика: какую бы точку М на нем мы ни взяли, отношение ординаты этой точки к ее абсциссе есть постоянная величина а. Так как, с другой стороны, это отношение равно тангенсу угла а, образуемого отрезком ОМ с осью то отсюда видно, что геометрическое место точек М есть прямая, проходящая через начало координат О под углом а (или ) к оси ОХ. Мы считаем а от оси ОХ до прямой против часовой стрелки.

Одновременно с этим обнаруживается и важное геометрическое значение коэффициента а в уравнении (3): а есть тангенс угла а, который образует прямая, соответствующая этому уравнению, с осью вследствие чего а называется угловым коэффициентом прямой. Заметим, что если а — число отрицательное, то угол а будет тупой и соответствующая прямая будет расположена так, как указано на рис. 6.

Обратимся теперь к общему случаю линейной функции, а именно к уравнению (2). Ординаты у графика этого уравнения отличаются от соответствующих ординат графика уравнения (3) постоянным слагаемым b. Таким образом, мы получим непосредственно график уравнения (2), если график уравнения (3), изображенный на рис. передвинем параллельно оси ОY на отрезок к наверх, если b положительно, и вниз, если оно отрицательно. Таким образом, мы получим прямую, параллельную исходной прямой и отсекающую на оси OY отрезок

Рис. 7.

Итак, график функции (2) есть прямая линия, причем коэффициент а равен тангенсу угла, образованного этой прямой с осью ОХ, а свободный член b равен отрезку, отсекаемому этой прямой на оси ОY, считая от начала О.

Коэффициент а иногда называют просто уклоном прямой, начальной ординатой этой прямой. Наоборот, если нам дана какая-нибудь прямая L, не параллельная оси ОY, то нетрудно написать уравнение вида (2), соответствующее этой прямой. Согласно предыдущему, достаточно взять коэффициент а равным тангенсу угла наклона этой прямой к оси ОХ и b равным отрезку, отсекаемому этой прямой на оси О К

Отметим один частный случай, который представляет известную особенность. Пусть . Уравнение (2) дает нам при всяком

т. е. получается такая «функция» от х, которая при всех значениях сохраняет одно и то же значение b. Нетрудно видеть, что графиком уравнения будет прямая, параллельная оси ОХ и отстоящая от этой оси на расстоянии (сверху, если , и снизу, если ). Чтобы не делать специальных оговорок, мы будем говорить, что уравнение также определяет функцию от