140. Признак Гаусса.

Весьма важные применения имеет следующий Признак Гаусса. Если в ряде с положительными членами (9)

отношение можно представать в виде

причем А не зависит от , т. е. величина остается ограниченной, то ряд (9) сходится, если и расходится, гели

Заметим, что во всех случаях, исчерпываемых этим признаком, признак Даламбера неприменим [121]. Сама же формула (14) получается при разложении отношения по степеням т. е. при выделении членов различных порядков малости относительно конечно, если это возможно.

Переходя к доказательству, мы исследуем отдельно случаи: 1) и 2) . В случае 1) мы положим в признаке Куммера , причем заметим, что и ряд расходится [119]. Мы имеем, очевидно, в данном случае

Если то, начиная с некоторого значения , будем иметь

где а — любое положительное число, меньшее и ряд (9) будет сходящимся. Если же , то, начиная с некоторого значения , мы будем иметь

т. е. ряд (9) будет расходящимся [139]. В случае 2) мы имеем

Положим в признаке Куммера и составим ряд

где суммирование можно начинать с любого целого положительного , так как первые слагаемые не влияют на сходимость [118]. Докажем расходимость написанного ряда, пользуясь интегральным признаком Коши [122]. Нам надо доказать расходимость интеграла

Но мы имеем

и функция беспредельно возрастает при возрастании т. е. написанный выше интеграл действительно расходится, а потому и ряд (15) расходится. Составим теперь разность пользуясь (14):

Множитель остается по условию ограниченным, отношение же стремится к нулю при так как по условию возрастает слабее любой положительной степени (пример 2 из [66]). Если положить то и второе слагаемое справа будет

т. е. оно стремится к (-1) [38]. Мы видим, таким образом, что в данном случае ряд расходится и при , а потому, при достаточно больших будет: т. е. ряд (9) будет расходящимся [139], что и требовалось доказать.

Приведенные выше признаки сходимости могут применяться и к рядам с какими угодно членами, если заменить в них на Но в этом случае они дают только возможность сказать, будет ли данный ряд абсолютно сходящимся или не будет таковым. Из них можно будет извлечь, вообще говоря, условие абсолютной сходимости, но не условие расходимости, так как мы знаем, что ряд может быть не абсолютно сходящимся, но и не расходящимся [124]. Таким путем мы получаем:

Дополнение к признаку Гаусса. Ряд

с какими угодно членами, для которого

где будет абсолютно сходящимся при .

Нетрудно показать, что он будет расходящимся при . В самом деле, в этом случае мы имеем, принимая во внимание ограниченность

а потому, начиная с некоторого значения в силу условия

т. е., начиная с этого значения члены ряда возрастают по абсолютному значению, и общий член ряда не может стремиться к нулю при т. е. ряд (17) будет расходящимся.