192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.

Положим, что коэффициенты и q уравнения (14) — числа вещественные. Формула Кардана, как мы уже упоминали, неудобна для вычисления корней, и мы выведем более практичные формулы. Рассмотрим отдельно четыре случая.

Из написанного следует, что Подкоренные выражения в формуле (20) будут комплексными, но, несмотря на это, все три корня уравнения будут, как известно, вещественными [191]. Положим

откуда [171]

Согласно формуле Кардана, имеем

Принимая в обоих слагаемых равные значения для получим для произведения этих слагаемых положительное число: . Окончательно будем иметь

где определяются по формуле (22), причем нетрудно показать, что если мы возьмем различные удовлетворяющие второму из уравнений (22), то получим одинаковый набор корней по формуле (23).

Уравнение (14) имеет один вещественный корень и два комплексных сопряженных [191], причем из написанного следует, что . Введем вспомогательный угол , полагая

Это даст нам

ибо в силу

Вводя, наконец, угол по формуле

получим следующее выражение для вещественного корня:

Предлагаем читателю, пользуясь формулой (21), показать, что мнимые корни будут иметь выражения:

В этом случае, как и в предыдущем, уравнение (14) буцет иметь один вещественный корень и два мнимых сопряженных. При этом может быть и меньше и больше, чем и мы вместо формулы введем угол а следующим образом:

Это дает

Вводя новый угол по формуле

окончательно будем иметь

Мнимые корни будут

Уравнение (14) имеет кратный корень, и в этом случае, как и в случае решение уравнения не представляет никаких затруднений.

Пользуясь выведенными тригонометрическими формулами, можно при помощи таблицы логарифмов вычислить корни кубического уравнения с большой степенью точности.

Пример 1.

Полагая приведем уравнение к виду

и это уравнение имеет три вещественных корня [191]. Формулы (22) дают и, находя самый угол , определяем корни по формулам (23):

Пример 2.

Определяем угол по формуле и угол формуле (242) и затем вычисляем корни по формулам :