164. Примеры.
1. Рассмотрим поверхность 
Уравнение каса тельной плоскости к ней будет [160]:
где 
и q обозначают частные производные 
Рис. 163.
Если при некоторых значениях 
функция z достигает максимума или минимума, то соответствующая точка называется вершиною поверхности: в такой точке касательная плоскость должна быть параллельна плоскости XY, т. е. частные производные 
и q должны обращаться в нуль, и поверхность должна быть расположена по одну сторону от касательной плоскости, вблизи точки касания (рис. 163). Но может случиться, что 
и q в некоторой точке обращаются в нуль, т. е. касательная плоскость параллельна плоскости ХY, но поверхность вблизи этой точки расположена по обе стороны от касательной плоскости, и в этом случае при соответствующих значениях х и у функция z не будет достигать ни максимума, ни минимума.
Укажем еще на одну возможность, которая может осуществиться в случае, названном нами в предыдущем сомнительным. Положим, что при 
касательная плоскость параллельна плоскости ХY, и поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости, но имеет с нею общую линию, проходящую через точку касания.
В этом случае разность
не меняя знака при достаточно малых по абсолютному значению h и 
будет обращаться в нуль при h или k, отличных от нуля. Нетрудно осуществить этот случай, представив себе, например, круговой цилиндр, ось которого параллельна плоскости XV. В этом случае также говорят, что функция 
имеет максимум или минимум при 
Поверхность
есть гиперболический параболоид. Приравнивая нулю частные производные от z по х и у, получим 
и касательная плоскость к поверхности в начале координат будет совпадать с плоскостью XY. Составим частные производные второго порядка:
и, следовательно,
т. е. при 
функция z не достигает ни максимума, ни минимума, и вблизи начала координат поверхность расположена по обе стороны от касательной плоскости (рис. 164).
Рис. 164.
2. На плоскости даны 
точек 
. Требуется найти точку М такую, чтобы сумма произведений данных положительных чисел 
на квадраты расстояний ее до точек М достигала минимума. Пусть 
— координаты искомой точки М. Упомянутая выше сумма будет:
Приравнивая нулю частные производные 
получаем
Нетрудно проверить, что в рассматриваемом случае А и 
будут больше нуля, и, следовательно, найденным значениям х и у действительно будет соответствовать минимум w. Этот минимум является наименьшим значением w на плоскости 
ибо до 
при беспредельном удалении точки 
Если 
- материальные точки и 
— их массы, то формула (12) определяет координаты центра тяжести системы точек 
