68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных.

Допустим, что у функции переменная у сохраняет постоянное значение и меняется только то есть и становится функцией одного и можно вычислить ее приращение и производную. Обозначим через приращение и, которое эта функция получает, когда у остается постоянным, а получает приращение

Производную получим, найдя предел

Производная эта, вычисленная в предположении, что у остается постоянным, называется частной производной функции и по и обозначается так: или или

Заметим, что нельзя толковать как дробь, но лишь как символ для обозначения частной производной. Если имеет частную производную по то она является непрерывной функцией при фиксированном у.

Точно так же определяется приращение Дуг и частная производная от и по вычисленная в предложении, что х не меняется:

Если, например,

Рассмотрим уравнение Клапейрона

С помощью этого уравнения одна из величин и Т может быть определена в зависимости от двух других, причем эти последние должны уже считаться независимыми переменными. Мы получим следующую таблицу:

Отсюда получается следующее соотношение

Если бы в левой части равенства мы произвели сокращение, то получили бы не (-1), а (+1). Но в этом равенстве частные производные вычислены при различных предположениях: — в предложении, что постоянно; при v постоянном; при Т постоянном, а потому упомянутое сокращение недопустимо.

Обозначим через А и полное приращение функции получаемое при одновременном изменении как , так и у:

Прибавляя и вычитая можем написать

В первой квадратной скобке мы имеем приращение функции и при неизменном значении переменной у, во второй квадратной скобке — приращение той же функции при неизменном значении

Положим, что определена внутри некоторой области В, что точка находится внутри В и что взяты настолько малыми по абсолютной величине, что прямоугольник с центром и длиной сторон также находится внутри В. Предположим, кроме того, что имеет внутри В частные производные. Применяя к каждому из приращений, входящих в выражение формулу Лагранжа, что мы можем сделать, так как в каждом случае меняется только одна независимая переменная, получим

где и заключаются между нулем и единицей. Предполагая непрерывность частных производных и мы можем утверждать, что при стремлении к нулю, коэффициент при будет стремиться к а коэффициент при а потому имеем

или

где величины бесконечно малые одновременно с Формула эта аналогична формуле

доказанной нами в случае функции одной независимой переменной [50].

Произведения у будут бесконечно малыми высших порядков по сравнению соответственно с .

Напомним, что в предыдущих рассуждениях мы исходили из предположения не только существования, но и непрерывности частных производных в некоторой области, содержащей точку внутри себя.

В сумме первых двух слагаемых в правой части формулы (1) заменим произвольными величинами dx и dy (дифференциалами независимых переменных). Мы получим таким путем выражение

или

которое называется полным дифференциалом функции и

Ввиду вышеуказанных свойств можно сказать, что при малых значениях полный дифференциал дает приближенное значение полного приращения А и, соответствующее приращениям независимых переменных [50].

С другой стороны, очевидно, что произведения дают приближенную величину приращений и, таким образом, при малых приращениях независимых переменных полное приращение функции приближенно равно сумме ее частных приращений

Равенство (2) выражает весьма важное свойство функций от нескольких независимых переменных, которое можно назвать „свойством наложимости малых действий“. Сущность его заключается в том, что соединенный эффект от нескольких малых действий с достаточной точностью может быть заменен суммой эффектов от каждого малого действия в отдельности.