89. Свойства неопределенного интеграла.

В [86] мы видели, что две первообразные функции для одной и той же функции отличаются лишь постоянным слагаемым. Это приводит нас к первому свойству неопределенного интеграла.

I. Если две функции или дифференциала тождественны, то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Наоборот, чтобы проверить, что две функции отличаются постоянным слагаемым, достаточно показать, что их производные (или дифференциалы) тождественны.

Следующие свойства II и III непосредственно вытекают из понятия о неопределенном интеграле как первообразной функции, т. е. из того, что неопределенный интеграл

есть такая функция, производная которой по х равна подынтегральной функции или дифференциал которой равен подынтегральному выражению .

II. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению:

III. Одновременно с (15) мы имеем

и эту формулу можно еще переписать так [50]:

что в соединении со свойством II дает: рядом стоящие знаки d и, в каком бы порядке они ни следовали, взаимно уничтожаются, если условиться отбрасывать произвольную постоянную в равенстве между неопределенными интегралами.

IV. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

V. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого:

Правильность формул (17) и (18) нетрудно обнаружить, дифференцируя обе части и убеждаясь в тождественности полученных производных. Например, для равенства (17):