128. Ряды Тейлора и Маклорена.
Если 
имеет при 
близких к а производные всех порядков, то мы можем написать формулу Тейлора при любом значении 
Перепишем формулу Тейлора в виде:
где
т. е. 
есть сумма первых 
членов бесконечного ряда
Если при некотором значении 
и беспредельном возрастании и
то, в силу сказанного в [118], указанный выше бесконечный ряд сходится при указанном значении 
и его сумма равна 
Таким образом, получается разложение функции 
в бесконечный степенной ряд Тейлора:
по степеням разности 
.
В дальнейшем мы всегда будем иметь дело с тем случаем, когда условие (15) имеет место не для отдельного значения 
а для всех 
из некоторого промежутка.
Таким же образом формула Маклорена дает нам при соблюдении условия (15) разложение 
в ряд Маклорена
Оценка 
имеет важное значение для приближенного вычисления значений функции 
при помощи разложения ее в степенной ряд.
Применим предыдущие соображения к разложению и приближенному вычислению простейших функций.
