83. Спирали.

Разберем три вида спиралей:

Спираль Архимеда имеет вид, изображенный на рис. 105, причем пунктир соответствует части кривой при Отрицательным значениям соответствуют и отрицательные значения , и их надо откладывать в направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значением .

Всякий радиус-вектор встречает кривую бесчисленное множество раз причем расстояние между каждыми двумя последовательными точками пересечения есть величина постоянная, равная Это видно из того, что направление радиуса-вектора, соответствующее некоторому данному значению , не меняется, если к прибавить длина же , определяемая из уравнения будет получать приращения

Гиперболическая спираль изображена на рис. 106. Предполагая исследуем, что будет происходить с кривойа когда стремится к нулю. Уравнение

показывает, что будет стремиться при этом к бесконечности.

Возьмем некоторую точку М на кривой при достаточно малом значении в и опустим перпендикуляр MQ на полярную ось X. Из прямоугольного треугольника MOQ получим (рис. 106):

а при стремлении к нулю

Итак, расстояние между точкой М кривой и полярной осью, при стремлении к нулю, стремится к а, и кривая будет иметь асимптоту LK, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии а от нее.

Рис. 105.

Рис. 106.

Рис. 107.

Далее, видим, что не обращается в нуль ни при каких конечных значениях , а только стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу О, закручиваясь около него, но никогда не пройдет через О в противоположность спирали Архимеда. Такая точка называется, вообще, асимптотической точкой кривой.

Логарифмическая спираль изображена на рис. 107.

При и при стремлении к стремится к а при стремлении к стремится к нулю, никогда не обращаясь в нуль. В рассматриваемом случае

т. е. радиус-вектор образует с касательной к логарифмической спирали постоянный угол

Улитки и кардиоида. Построим круг на диаметре из точки О, лежащей на окружности, будем проводить радиусы-векторы и на каждом из них будем откладывать постоянную длину от точки пересечения D этой прямой с окружностью. Геометрическое место точек М называется вообще улиткою.

Замечая, что

находим уравнение улитки

Если то уравнение это дает для только положительные значения, и соответствующая кривая изображена на рис. 109. Если , то будет принимать и отрицательные значения, кривая имеет вид, изображенный на рис. 110. В точке О кривая пересекает самое себя.

Рис. 108,

Рис. 109.

Наконец, при уравнение улитки будет

т. е. в этом случае улитка представляет собою кардиоиду [80], которая только иначе расположена, чем в [80] (рис. 111). Значению будет соответствовать , т. е. кривая пройдет через точку О.

Рис. 110.

Рис. 111.

Определим первую и вторую производные от по

Вычислим :

то

Как было показано раньше [80], кардиоиду можно себе представить как кривую, описанную точкой круга, катящегося по упомянутому выше кругу с диаметром причем диаметр катящегося круга равен диаметру неподвижного круга.

Пусть С — центр неподвижного круга, М — некоторая точка кардиоиды, N — точка касания катящегося круга в его положении, соответствующем этой точке, с неподвижным кругом, и - диаметр подвижного круга (рис. 111). Выше [80] мы видели, что прямые ОМ и параллельны т. е. угол и, следовательно,

Угол как вписанный, опирающийся на дугу NM, равен и, наконец, угол, образованный направлениями ОМ и равен

откуда видно, что и есть касательная к кардиоиде в точке М. Мы получаем, таким образом, следующее правило:

Чтобы построить касательную к кардиоиде в ее точке М, достаточно соединить эту точку с концом того диаметра катящегося круга, другой конец которого находится в точке касания катящегося круга с неподвижным; нормаль пройдет по прямой

Выведенное выше правило построения касательной к кардиоиде получается просто из кинематических соображений. Известно, что вообще движение неизменяемой системы на плоскости в каждый данный момент сводится к вращению вокруг неподвижной точки (мгновенного центра), причем, вообще говоря, положение этой точки меняется с течением времени. В случае качения, указанного на рис. 111, мгновенный центр есть точка соприкосновения N катящегося круга с неподвижным, и, следовательно, скорость движущейся точки М, направленная по касательной к кардиоиде, перпендикулярна к лучу , т. е. этот луч есть нормаль к кардиоиде, а перпендикулярная к нему прямая касательная к кардиоиде. Из этих соображений следует, что приведенное правило построения касательной годится, вообще, для кривых, описанных некоторой точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной кривой.