§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

101. Вычисление площадей.

Мы переходим к приложениям понятия определенного интеграла к вычислению площадей, объемов и длин дуг. При этом мы будем руководствоваться во многом наглядными соображениями. Точное определение площади и объема с разных точек зрения будет нами дано в последующих томах.

В [87] мы видели, что площадь, ограниченная кривой осыо ОХ и двумя ординатами выражается определенным интегралом

Рис. 127.

Этот интеграл, как мы видели, дает алгебраическую сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью ОХ, входит со знаком (—). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно вычислить

Так, сумма заштрихованных на рис. 127 площадей равна

Площадь, заключенная между двумя кривыми

и двумя ординатами

в том случае, когда одна кривая лежит над другой, т. е.

в промежутке (а, b), выражается определенным интегралом

Допустим сперва, что обе кривые лежат над осью ОХ. Непосредственно из рис. 128 видно, что искомая площадь 5 равна разности площадей, ограниченных данными кривыми с осью ОХ

что и требовалось доказать. Общий случай какого угодно расположения кривых относительно оси ОХ приводится к разобранному, если передвинуть ось ОХ настолько книзу, чтобы обе кривые оказались над осью ОХ; это передвижение равносильно прибавлению к обеим функциям одного и того же постоянного слагаемого, причем разность остается без изменения.

Рис. 128.

Предлагаем в виде упражнения доказать, что если данные две кривые пересекаются так, что одна кривая лежит частью ниже, а частью выше другой, то сумма площадей, лежащих между ними и ординатами равна

Часто вычисление определенного интеграла называют квадратурой. Это связано с тем, что определение площади, как указано выше, сводится к вычислению определенного интеграла.

Примеры. 1. Площадь, ограниченная параболой второй степени.

осью ОХ и двумя ординатами, расстояние между которыми есть h, равна

где означают крайние ординаты кривой, ординату, равноотстоящую от крайних.

При этом предполагается, что кривая лежит над осью ОХ.

При доказательстве формулы (4) мы можем, не ограничивая общности, считать, что крайняя ордината слева направлена по оси ОУ (рис. 129), так как передвижение всего чертежа параллельно оси ОХ не изменяет ни величины рассматриваемой площади, ни взаимного расположения крайних и средней ординат, ни величин этих ординат.

Рис. 129.

Рис. 130.

Но при этом предположении, допустив, что уравнение параболы имеет вид , мы выразим искомую площадь S в виде определенного интеграла

При наших обозначениях мы имеем

откуда следует

что и доказывает наше утверждение.

2. Площадь эллипса. Эллипс, уравнение которого

симметричен относительно координатных осей, а потому искомая площадь S равна учетверенной площади той части эллипса, которая лежит в первом координатном углу, т. е.

(рис. 130).

Вместо того, чтобы определить у из уравнения эллипса и подставить полученное выражение в подынтегральную функцию, мы воспользуемся параметрическим представлением эллипса:

и введем вместо новую переменную выразится тогда сразу вторым из уравнений (5). Когда меняется от 0 до меняется от до 0, и так как все условия правила замены переменных [99] в данном случае выполнены, то

По формуле (27) [100] при мы имеем

откуда находим окончательно

Рис. 131.

При когда эллипс обращается в круг радиуса , получим известное выражение для площади круга.

3. Вычислить площадь, заключенную между двумя кривыми

Данные кривые (рис. 131) пересекаются в двух точках (0, 0), (1, 1), координаты которых мы получим, решая совместно уравнения этих кривых. Так как в промежутке (0, 1) имеем то искомая площадь S в силу (2) выражается формулой