201. Интегралы вида...

Интеграл вида:

где многочлен степени от интегрированием по частям можно упростить:

Таким образом, выделяя из интеграла слагаемое, имеющее вид произведения на многочлен степени, мы можем понизить степень многочлена под знаком интеграла на единицу. Продолжая таким образом интегрировать по частям и принимая во внимание, что

получим

где многочлен той же степени, что и т. е. интеграл от произведения показательной функции на многочлен степени имеет вид такого же произведения.

Дифференцируя соотношение (18) и сокращая обе части полученного тождества на можем определить коэффициенты полинома по способу неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим теперь интеграл более общего вида:

где многочлены от Пусть — наибольшая из степеней этих двух многочленов.

Вводя в качестве вспомогательного средства комплексные величины, можем привести интеграл (19) к интегралу (17), а именно, подставив вместо их выражения по формулам Эйлера [176]:

получим

где многочлены степени не выше . Применяя формулу (18):

где многочлены степени не выше , и подставляя

окончательно имеем

где многочлены степени не выше п. Таким образом, мы видим, что интеграл (19) имеет выражение того же вида, что и его подынтегральная функция, причем степень многочленов в выражении интеграла надо брать равной наибольшей из степеней многочленов, стоящих в подынтегральной функции.

Дифференцируя соотношение (20), сокращая полученное тождество на и приравнивая коэффициенты одинаковых членов вида , стоящих в правой и левой частях, получим систему уравнений первой степени для определения коэффициентов многочленов Заметим при этом, что, если или под знак интеграла и не входят, в правой части формулы надо обязательно писать обе тригонометрические функции, помня высказанное выше правило определения степеней многочленов

К интегралам вида (19) приводятся непосредственно интегралы вида:

Действительно, пользуясь известными тригонометрическими формулами, выражающими сумму и разность синусов и косинусов в виде произведения, можно, наоборот, произведение каких-либо двух из вышеупомянутых тригонометрических функций выразить в виде суммы или разности синусов и косинусов. Применяя несколько раз это преобразование, можем довести число тригонометрических множителей под знаком интеграла до одного и таким образом получим интеграл вида (19).

Пример. Согласно формуле (20):

Дифференцируем и сокращаем на

откуда

и окончательно