130. Разложение sin x и cos x.

Мы имеем [53]:

откуда

после чего формула (13) дает

В остаточном члене множитель как мы видели выше, стремится к нулю при , а абсолютное значение синуса не превышает единицы, и, следовательно, остаточный член стремится к нулю при всех конечных значениях т. е. разложение

имеет место при всех значениях

Аналогичным образом мы можем доказать, что разложение

имеет место при всех значениях

Ряды (19) и (20) весьма удобны для вычисления значений функций при малых значениях угла При всех значениях как положительных, так и отрицательных, они знакопеременные, так что если мы взяли такое число членов, что дальнейшие идут убывая, то ошибка по абсолютному значению не превосходит первого из отброшенных членов [123].

Рис. 156.

При больших значениях ряды (19) и (20) также сходятся, но медленно, и для вычисления неудобны. На рис. 156 показано взаимное расположение точной кривой и первых трех приближений:

Чем больше членов взято в приближенной формуле, тем в большем промежутке приближенная кривая близка к точной. Заметим, что во всех написанных формулах угол выражается в дуговой мере, т. е. в радианах 133].

Пример. Вычислить sin 10° с точностью до . Прежде всего переводим градусную меру в дуговую

Остановившись на приближенной формуле

мы делаем ошибку, не превосходящую

В правой части предыдущей формулы надлежит вычислять каждое слагаемое с шестью знаками, так как тогда полная ошибка будет не больше

С указанной точностью мы имеем

причем за первые четыре знака можно ручаться.