27. Предел переменной величины.

Переменную величину мы назвали бесконечно малой, если соответствующая ей движущаяся по ОХ точка К обладает тем свойством, что длина отрезка последовательном изменении К становилась и при дальнейшем Пменении К оставалась меньше любого заданного положительного числа е. Положим теперь, что это свойство выполняется не для отрезка , а для отрезка где А есть определенная точка на оси ОХ с абсциссой а (рис. 42). В этом случае промежуток длины будет иметь середину не в начале координат, а в точке с абсциссой и точка К при своем последовательном перемещении должна попасть внутрь этого промежутка и там при дальнейшем перемещении оставаться. В этом случае говорят, что постоянное число а есть предел переменной величины или что переменная величина стремится к а.

Рис. 42.

Учитывая, что длина отрезка есть мы можем сформулировать следующее определение.

Определение. Пределом переменной величины называется такое число а, что разность а есть величина бесконечно малая.

Отметим, что при этом и величина есть величина бесконечно малая. Принимая во внимание определение бесконечно малой величины, можно сформулировать определение предела а следующим образом.

Определение. Пределом переменной величины называется такое число а, что имеет место следующее свойство: при любом заданном положительном числе существует такое значение переменной что для всех последующих значений выполняется неравенство (или, что то же, ).

В случае пронумерованного множества при любом заданном положительном числе надо установить существование такого целого положительного числа N, что (или ) при .

Если а есть предел х (х стремится к а), то пишут:

В случае пронумерованной переменной: . говорят также, что а есть предел указанной последовательности (последовательность стремится к а) и пишут:

Обратим внимание на некоторые непосредственно ясные следствия определения предела, на доказательстве которых мы не останавливаемся.

1. Переменная величина не может стремиться к различным пределам, т. е. или вовсе не имеет предела или имеет один определенный предел.

2. Переменная величина, имеющая предел, равный нулю, бесконечно малая величина, и, наоборот, всякая бесконечно малая величина имеет предел, равный нулю.

3. Если две переменные или имеют пределы а и b и удовлетворяют при своем последовательном изменении неравенствам хпуп или

Заметим, что если переменные удовлетворяют неравенству то для их пределов может получиться и знак равенства, т. е.

Если три переменные удовлетворяют неравенству xnynzn, а стремятся к одному и тому же пределу а, то и переменная стремится к пределу а.

Существование предела а у переменной равносильно тому, что разность есть бесконечно малая, причем упорядоченность а определяется упорядоченностью Для пронумерованной переменной:

Отсюда следует, что

5. Существование предела а у переменной равносильно тому, что можно представить в виде суммы числа а и бесконечно малой величины , т. е. или где а или бесконечно малые.

6. При определении предела а переменной достаточно ограничиться рассмотрением лишь тех значений которые следуют после какого-либо определенного значения причем это последнее значение можно выбирать произвольно, т. е. можно не обращать внимания на значения, предшествующие

Если последовательность стремится к а, то всякая бесконечная частичная подпоследовательность выделенная из вышеуказанной, также стремится к а. В частичной подпоследовательности значки образуют какую-либо возрастающую последовательность целых положительных чисел.

Для непронумерованной переменной стремящейся к а, аналогичное свойство имеет место при некоторой оговорке. Положим, что из последовательности значений мы исключили некоторые значения (возможно, бесчисленное множество значений), но сделали это так, что для любого фиксированного значения оставшаяся последовательность значений содержит значения, для которых есть предшествующее значение. При этом оставшаяся последовательность значений при прежнем упорядочивании значений есть упорядоченная переменная, стремящаяся к а.

В качестве примера рассмотрим пронумерованную переменную

и докажем, что ее предел равен Составим разность

Неравенство равносильно неравенству

и за N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в разности считаем

Рассмотрим теперь сумму первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Как известно,

и, придавая значения получим последовательность

Из выражения имеем

Правая часть является произведением постоянного множителя и бесконечно малого множителя . В силу второго свойства бесконечно малых [261 разность есть величина бесконечно малая и, следовательно, число есть предел последовательности

Вернемся к непронумерованной переменной величине из [25], определяемой неравенствами: или или кроме с указанной в [25] последовательностью значений. Эта переменная имеет, очевидно, во всех трех случаях предел а, и мы будем обозначать эти три случая изменения следующим образом: Отметим, что это обозначение не связано с величиною положительного числа А, ибо, как указано выше, при определении предела можно не обращать внимания на значения, предшествующие какому-либо значению

Сделаем еще несколько замечаний и приведем примеры.

Упорядоченная „переменная" величина х, все значения которой равны числу а, подходит под определение величины, стремящейся к о, Например, для пронумерованной переменной при любом ) меньше любого заданного положительного при всех [ср. 26]. Такое рассмотрение постоянной величины как частного случая переменной будет нам удобно впоследствии.

Отметим еще, что если переменная имеет предел, например а то при заданном , начиная с некоторого значения и, следовательно, при этом величина ограниченная (см. замечание в [26]).

Переменная величина, как мы уже упоминали, не всегда имеет предел. Возьмем, например, пронумерованную переменную имеющую предел и переменную имеющую предел нуль. Пронумерованная переменная не имеет предела. Последовательность ее значений имеет предел у, а последовательность значений имеет предел нуль.

Возьмем указанную выше последовательность имеющую предел нуль, и вставим между двумя ее членами числа которые вдвое больше предыдущего числа

Эта последняя последовательность также стремится к нулю. Получится последовательность, стремящаяся к нулю:

Члены этой последовательности, приближаясь беспредельно к нулк от положительных значений, не всегда убывают: второй больше первого, четвертый больше третьего и т. д.

Рассмотрим непронумерованную переменную, которая, убывая на промежутке стремится к единице, т. е. мы исключим значения удовлетворяющие условию то оставшееся множество значений при прежнем упорядочивании (убывание) также будет стремиться к единице. Если мы исключим значения удовлетворяющие условию то при прежнем порядке (убывание) оставшееся множество будет упорядоченным, но буде стремиться не к единице, а к двум. Если же мы исключим значения удовлетворяющие условию то оставшееся множенство значений х при прежнем порядке (убывание) не будет будет иметь последнее значение

Этот пример связан с тем замечанием, которое мы сделали выше об исключении значений из непронумерованной упорядоченной переменной.