197. Интегрирование рациональной дроби.

Интегрирование рациональной дроби в силу формулы (1) приводится к интегрированию многочлена, что даст также многочлен, и к интегрированию правильной рациональной дроби, что мы и будем сейчас рассматривать.

Если знаменатель дроби имеет только простые корни, то, в силу формулы (4), все приведется к интегралам двух видов:

и

Вспоминая сказанное [92], получим ответ вида

Таким образом, в рассматриваемом случае интеграл выразится через логарифмы и арктангенсы.

Рассмотрим теперь тот случай, когда знаменатель правильной рациональной дроби содержит кратные корни. Обратимся к разложению (3). Мнимые числа, которые могут в нем встретиться, будут играть лишь промежуточную роль в дальнейших вычислениях и в окончательном результате исчезнут.

При интегрировании простейших дробей, знаменатель которых выше первой степени, мы получим также рациональную дробь:

Сумма полученных после интегрирования дробей даст алгебраическую часть интеграла, которая по приведении к общему знаменателю будет, очевидно, правильной дробью вида

Числитель есть многочлен степени, по крайней мере, на единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою общий наибольший делитель знаменателя интегрируемой дроби и ее первой производной

Сумма остальных непроинтегрированных дробей

при приведении к общему знаменателю окажется правильной дробью

где есть многочлен степени, по крайней мере, на единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою частное от деления на Таким образом, мы получим следующую формулу Остроградского:

Многочлены и мы можем определять и не зная корней . Укажем теперь, как определить коэффициенты многочленов , степени которых мы можем считать на единицу ниже степеней соответствующих знаменателей.

Дифференцируя равенство (5), освобождаемся от знаков интеграла. Освобождаясь в полученном таким образом тождестве от знаменателя, будем иметь тождественное равенство двух многочленов и, применяя к нему метод неопределенных коэффициентов или подстановки, сможем определить коэффициенты со

Формула Остроградского дает, таким образом, алгебраическую часть интеграла правильной рациональной дроби и тогда, когда корни знаменателя неизвестны. Знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла в правой части равенства (5), содержит только простые корни, и, разлагая эту дробь на простейшие, мы сумеем вычислить этот интеграл, причем, как это мы только что видели, он выразится через логарифмы и арктангенсы. Для проведения последней операции нам надо знать корни

Пример. Согласно формуле Остроградского

Диффернцируя по х

и, освобождаясь от знаменателя, имеем

Сравнивая коэффициенты при получаем и сравнивая затем коэффициенты при получим Подставляя в написанное тождество и сравнивая коэффициенты при остальных степенях, будем иметь:

откуда окончательно:

и, следовательно,

Последний интеграл вычисляется разложением дроби на простейшие:

Освобождаемся от знаменателя:

Полагая получим а затем, сравнивая коэффициенты при и свободные члены

и, следовательно,

Окончательно получим

откуда