88. Связь определенного и неопределенного интегралов.

Рассмотрим опять площадь ограниченную осью ОХ, графиком функции и ординатами

Рис. 119.

Вместе с этой площадью рассмотрим и часть ее, ограниченную левой ординатой и некоторой подвижной ординатой, отвечающей переменному значению Величина этой площади будет, очевидно, зависеть от того, в каком месте мы поставим правую ординату, т. е. будет функцией от Эта величина будет изображаться определенным интегралом от функции взятым от нижнего предела а до верхнего предела

Так как буква занята для обозначения верхнего предела, то мы для избежания путаницы будем обозначать переменную интегрирования другой буквой, а именно, буквой t. Таким образом, мы можем написать:

Здесь мы имеем определенный интеграл с переменным верхним пределом и его величина есть, очевидно, функция этого предела. Покажем, что эта функция является одной из первообразных функций для Для вычисления производной от этой функции рассмотрим сперва ее приращение соответствующее приращению независимой переменной Очевидно, имеем (рис. 120):

Рис. 120.

Обозначим через , соответственно, наименьшую и наибольшую ординаты графика в промежутке Криволинейная фигура , начерченная в большом масштабе на рис. 120, будет целиком лежать внутри прямоугольника с высотой М и основанием и будет заключать внутри себя прямоугольник с высотой и тем же основанием, а потому

или, разделив на

Когда обе величины и М в силу непрерывности функции стремятся к общему пределу — ординате кривой в точке а потому

что мы и хотели доказать. Полученный результат мы можем формулировать следующим образом: определенный интеграл с переменным верхним пределом

есть функция этого верхнего предела, производная от которой равна подынтегральной функции при верхнем пределе. Иначе говоря, определенный интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная функция для подынтегральной функции.

Установив связь между понятиями определенного и неопределенного интегралов, покажем теперь, каким образом можно вычислять величину определенного интеграла

если известна какая-либо первообразная функция для . Как мы показали, определенный интеграл с переменным верхним пределом есть тоже первообразная функция для и в силу [86] можем написать

где С есть некоторая постоянная. Для определения этой постоянной заметим, что если у площади правая ордината совпадает с левой, т. е. то величина площади обращается, очевидно, в нуль, т. е. левая часть в формуле (12) обращается в нуль при Следовательно, тождество это при дает

Подставляя найденное значение С в (12), получим

Наконец, полагая здесь будем игегь

Разность вида будем в дальнейшем обозначать символом

Мы приходим, таким образом, к следующему основному правилу, выражающему величину определенного интеграла через значение первообразной функции: величина определенного интеграла равна разности значений первообразной функции для подынтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Формулированное правило показывает, что нахождение первообразной функции, т. е. решение первой задачи интегрального исчисления, решает и вторую задачу, т. е. вычисление определенного интеграла, и освобождает, таким образом, нас при вычислении определенного интеграла от сложных операций образования суммы (6) и перехода к пределу.

В качестве примера найдем определенный интеграл

Первообразной функцией для является функция

Пользуясь выведенным нами правилом, будем иметь

Если бы мы, не пользуясь первообразной функцией, стали вычислять предложенный определенный интеграл непосредственно из его определения как предела суммы, то пришли бы к гораздо более сложному вычислению, которое вкратце воспроизведем. Разобьем промежуток (0, 1) на равных частей точками

В данном случае мы имеем следующих промежутков:

длина каждого из которых равна При составлении суммы (6) примем за левый конец промежутка, т. е.

Все разности и, замечая, что значения подынтегральной функции на левых концах промежутков будут:

можем написать

Для вычисления суммы, стоящей в числителе, напишем ряд очевидных равенств:

Складывая почленно, получим

Производя сокращения и применяя формулу суммы арифметической прогрессии, можем написать

откуда

Подставив полученное выражение в (14), имеем

Уяснив основные задачи интегрального исчисления и связь между ними, мы посвятим следующий номер дальнейшему рассмотрению первой задачи интегрального исчисления, а именно задаче выяснения свойств неопределенного интеграла и его разыскания.

Наши предыдущие рассуждения об определенном интеграле основывались на чисто геометрических соображениях, а именно на рассмотрении площадей . В частности, доказательство основного факта, что сумма (6) имеет предел, исходило из допущения, что для всякой непрерывной кривой имеется определенная площадь При всей наглядности такого допущения оно не является строго обоснованным, и единственно математически строгий путь был бы обратный: не опираясь на геометрическую интерпретацию, доказать непосредственно аналитическим путем существование предела S суммы

каковой потом уже принять за определение площади Это доказательство мы приведем в конце настоящей главы и притом при более общих предположениях относительно функции чем ее непрерывность.

Заметим еще, что геометрическая интерпретация являлась существенным моментом и при доказательстве того основного предложения, что при непрерывности подынтегральной функции производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. В следующем параграфе настоящей главы мы приведем и строгое аналитическое доказательство этого предложения. Оно, совместно с доказательством существования определенного интеграла от непрерывной функции, позволяет утверждать, что для всякой непрерывной функции имеется первообразная, т. е. неопределенный интеграл.

Дальше мы выясним основные свойства неопределенного интеграла, и будем считать, что имеем дело лишь с непрерывными функциями.

При изложений свойств определенного интеграла мы строго докажем основную формулу (13). Таким образом, единственным недоказанным фактом останется факт существования предела суммы (10) для непрерывной функции f(x). Это доказательство, как мы уже сказали, приводится в конце главы.