41. Действия над вещественными числами.

Теория иррациональных чисел, кроме данных выше определений и основной теоремы, содержит еще определение действий над иррациональными числами и исследование свойств этих действий. При определении действий мы будем руководствоваться сечениями в области рациональных чисел, и, поскольку эти сечения определяют не только иррациональные, но и рациональные числа (сечения первого рода), определение действий будет годиться вообще для всех вещественных чисел, причем для рациональных чисел они будут совпадать с известными. При изложении настоящего номера мы ограничимся только общими указаниями.

Сделаем предварительно одно замечание. Пусть а — некоторое вещественное число. Возьмем какое-нибудь (малое) рациональное положительна число , затем рациональное а из I (а) и составим арифметическую прогрессию

При больших числа попадут в II (а), и, следовательно, существовать такое целое положительное что принадлежит I (а) и принадлежит II (а), т. е.

Замечание: В любом сечении рациональных чисел существуют в разных классах числа, отличающиеся на любое заданное положительное рациональное число , как бы мало оно ни было.

Перейдем теперь к определению сложения. Пусть — два вещественных числа. Пусть а — любое число из а — из из . Составим всевозможные суммы . Во всяком случае имеем: Составим новое сечение рациональных чисел относя ко второму классу все рациональные числа, большие всех и относя к первому классу все остальные рациональные числа. При этом любое число первого класса меньше любого числа второго класса, все числа отходят в первый класс и все числа — во второй класс. Составленное новое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы назовем суммой .

Это число, очевидно, больше или равно и меньше или равно всем . Принимая во внимание, что сделанного выше замечания, числа а и а, а также могут отличиться Друг от друга на любое малое положительное рациональное число, показать, что может существовать только одно число, удовлетворяюшее указанным выше неравенствам. Непосредственно проверяется, что сложение удовлетворяет обычным законам, известным для рациональных

Например, чтобы получить нам будет составлять вместо мм суммы но эти суммы совпадают с прежними, так как переместительный закон сложения для рациональных чисел известен.

Пусть а — некоторое вещественное число. Определим число следующим сечением: в первый класс относим все рациональные числа из класса с измененным знаком, а во второй класс — все числа из с измененным знаком. Таким образом, получится действительно сечение в области рациональных чисел, и для числа а), как нетрудно проверить, имеем

Нетрудно видеть, что если то и наоборот. Назовем абсолютным значением числа а, отличного от нуля, то из двух чисел а и которое больше нуля. Обозначим, как и раньше, абсолютное значение числа символом

Переходим теперь к умножению. Пусть — два положительных вещественных числа, т. е. Пусть а — любое положительное число из - любое положительное число из , а и b — любые числа из II (а) и (они уже обязательно положительны). Составляем новое сечение, относя ко второму классу все рациональные числа, большие всех произведений и к первому классу — остальные рациональные числа. Все попадут в первый класс и все во второй класс. Новое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем произведением Это число больше или равно всем и не превосходит всех и только одно это вещественное число удовлетворяет этим неравенствам.

Если одно из чисел или оба — отрицательны, то мы приводим умножение к предыдущему случаю, вводя в определение умножения обычное правило знаков, т. е. мы полагаем причем берем знак если числа оба меньше нуля, и берем знак (—), если одно из чисел больше нуля, а другое меньше нуля.

При умножении на принимаем определение, что Непосредственно проверяются основные законы умножения:

и произведение нескольких сомножителей может равняться нулю в том и только в том случае, если хоть один из сомножителей равен нулю.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. равносильно Добавляя к обеим частям этого равенства получим, в силу упомянутых выше свойств сложения: т. е. разность должна обязательно определяться по этой формуле, и действие Вычитания сводится к сложению. Остается проверить, что полученное выражение для действительно удовлетворяет условию но это непосредственно вытекает из свойств сложения. Отметим справедливость обычного свойства: неравенство равносильно Прежде чем переходить к делению, определим число, обратное данному. Если а есть рациональное число, отличное от нуля, то обратным называют число

Пусть а — вещественное число, отличное от нуля. Пусть сначала и пусть а — любое число из II (а) (оно — рационально и положительно). Определим число, обратное а, следующим сечением: к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и числа а ко второму классу — остальные числа. Пусть некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения. Это значит, что где . Возьмем любое положительное рациональное число . Его можно представить в виде , где рационально и также принадлежит II (а).

Иначе говоря, если некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения, то всякое меньшее рациональное положительное число также принадлежит этому первому классу. Туда же входят по условию все отрицательные числа и нуль. Отсюда видно, что сечение, определяющее число, обратное а, произведено нами с соблюдением того основного условия, что любое число второго класса больше любого числа первого класса. Это число, обратное а - обозначим символом

Если то мы определим обратное число формулой

Пользуясь определением умножения, получим

Переходим теперь к делению. Это есть действие, обратное умножению, т. е. равносильно и, как при вычитании, нетрудно показать, что если то получается единственное частное: таким образом, деление сводится к умножению. Деление на нуль невозможно.

Возведение в целую положительную степень сводится к умножению. Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень. Пусть а — вещественное положительное число и — некоторое целое, большее единицы. Произведем следующее сечение рациональных чисел: к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и все положительные числа, степени которых меньше а, а ко второму классу — остальные числа. Пользуясь определением умножения, нетрудно показать, что положительное число , определяемое этим сечением, удовлетворяет условию: т. е. является арифметическим значением корня у а. Если — четное, то вторым значением будет Аналогично определяется корень нечетной степени из вещественного отрицательного числа (один ответ). Более подробно о показательной функции будет сказано потом. Отметим еще следующий важный результат: раз справедливы основные законы действий, то тем самым будут справедливы и все правила и тождества алгебры, если под буквами разуметь вещественные числа.