93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
В [51] мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения. Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
Это есть соотношение, связывающее независимую переменную 
неизвестную функцию у и ее первую производную 
Обыкновенно можно решить это уравнение относительно 
и переписать его в виде:
где f(x, у) есть известная функция от х и у.
Не рассматривая этого уравнения в общем случае, что будет сделано во втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах.
Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция 
представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит только от 
а другая только от у:
Помня, что 
можем переписать это уравнение в виде:
так что в одну часть уравнения входит только буква 
в другую — только буква у; это преобразование и называется разделением переменных. Так как
в силу свойства I [69] получаем
откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию у.
Примеры. 1. Химические реакции первого порядка. Обозначив через а количество вещества, имевшегося к началу реакции, через 
количество вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем [51] уравнение
где с — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условие
Разделяя переменные, находим
или, интегрируя
где 
произвольная постоянная. Отсюда выводим
где 
есть также произвольная постоянная. Ее можно определить из условия (55), в силу которого предыдущее равенство при 
дает 
и окончательно
2. Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные в грамм-молекулах, суть а и b. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через х, так 
количества оставшихся веществ будут 
.
По основному закону химических реакций второго порядка скорость течения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств, т. е.
Нужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальное условие
Разделяя переменные, имеем
интегрируя,
где 
произвольная постоянная.
Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:
что дает
откуда
так что
Подставляя в (26), имеем:
где 
. Искомая функция x определяется отсюда без всякого труда.
Предлагаем читателям разобрать особый случай а — b, когда предыдущие формулы теряют смысл.
3. Найти все кривые, пересекающие под данным постоянным углом радиусы-векторы, проведенные из начала координат 1) (рис. 121).
Рис. 121.
Пусть 
есть точка искомой кривой. Из чертежа мы имеем
Обозначив для удобства вычислений
и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде
или, умножив обе части на 
Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат х, у к полярным 
, приняв ось ОХ за полярную ось и начало координат О за полюс. Мы имеем [82]
что
Уравнение (27) перепишется после этого в виде:
Интегрируя, имеем
Полученные кривые называются логарифмическими спиралями.
