155. Частные производные высших порядков.

Частные производные функции от нескольких переменных суть в свою очередь функции тех же переменных, и мы можем определить их частные производные. Таким образом мы получим частные производные второго порядка первоначальной функции, которые также будут функциями тех же переменных, и их дифференцирование приведет к частным производным третьего порядка первоначальной функции, и т. д. Так, например, в случае функции от двух переменных, дифференцируя каждую из частных производных и еще раз по получим четыре производные второго порядка, которые обозначаются так:

или

или, наконец,

Производные отличаются лишь порядком дифференцирования. В первом случае дифференцирование производится сначала по и потом по у, а во втором случае — в обратном порядке. Покажем, что эти две производные тождественны между собою, т. е. что результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Составим выражение

Полагая

можем написать выражение о в виде

Применяя два раза формулу Лагранжа [63], получим

Буквы с различными значками означают числа, лежащие между 0 и 1. Знаком мы обозначаем частную производную функции по ее второму аргументу у, когда туда вместо х и у подставлены, соответственно, . Аналогичные обозначения применяются и для других частных производных.

Точно так же, полагая

можем написать

Сравнивая оба выражения, полученных для со, будем иметь

или

Предполагая непрерывность написанных производных второго порядка и устремляя h и k к нулю, получим

Это рассуждение приводит к следующей теореме.

Теорема. Если имеет внутри некоторой области непрерывные производные , то во всех точках внутри упомянутой области указанные производные равны. Рассмотрим теперь две производные третьего порядка

отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Принимая во внимание, что по доказанному результат двукратного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, можем написать

т. е. и в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Это свойство без труда обобщается на производные любого порядка и на случай функции любого числа переменных, и мы можем высказать общую теорему: результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифференцирование.

Заметим, что при доказательстве мы пользовались не только существованием производных, но и их непрерывностью внутри некоторой области.

В дальнейшем мы будем всегда предполагать непрерывность производных, о которых мы будем говорить, и в силу доказанной теоремы для производных высших порядков надо лишь указывать порядок производной , те переменные, по которым производится дифференцирование, и число дифференцирований по каждой переменной.

Так, например, в случае функции , пользуются следующим обозначением:

которое показывает, что взята производная порядка, причем дифференцирование произведено а раз по раз по по и раз по t.