77. Элементы кривой.
Приведем основные формулы, связанные с понятием касательной к кривой и ее кривизны, и введем еще некоторые новые понятия, связанные с понятием касательной. Если уравнение кривой имеет вид:
то угловой коэффициент касательной есть производная f(x) от у по 
, и уравнение касательной может быть написано в виде:
где 
— координаты точки касания и (X, Y) — текущие координаты касательной. Нормалью к кривой в точке 
кривой называют прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно к касательной в этой точке. Как известно из аналитической геометрии, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и по знаку, т. е. угловой коэффициент нормали будет 
и уравнение нормали можно написать так:
или
Пусть М есть некоторая точка кривой, Т и N — точки пересечения касательной и нормали кривой в точке М с осью OX, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ (рис. 92).
Отрезки QT и QN, лежащие на оси ОХ, называются подкасательной и поднормалью кривой в точке М, и отрезкам этим соответствуют определенные числа, положительные или отрицательные, смотря по направлению этих отрезков на оси ОХ. Длины отрезков МТ и MN называются длиною касательной и длиною нормали кривой в точке М, причем длины эти мы будем считать всегда положительными. Абсцисса точки Q на оси ОХ равна, очевидно, абсциссе 
точки М.
Рис. 92.
Точки Т и N суть точки пересечения касательной и нормали с осью ОХ, а потому для определения абсцисс этих точек надо положить в уравнении касательной и нормали 
и полученные уравнения разрешить относительно X. Мы получим, таким образом, для абсциссы точки Т выражение 
а для абсциссы точки 
- выражение 
Нетрудно теперь определить величину подкасательной и поднормали:
Из прямоугольных треугольников MQT и MQN можно определить теперь длины касательной и нормали:
причем знак 
надо выбирать так, чтобы выражения в правой части оказались положительными.
Напомним еще формулу для радиуса кривизны кривой [71]:
Обозначая длину нормали буквою 
, получим из второй из формул (31):
и, подставляя это значение 
в формулу (32), будем иметь еще следующее выражение для радиуса кривизны:
Если кривая задана параметрически
то первая и вторая производные 
от у по х выражаются по формулам [74]
В частности, подставляя эти выражения в формулу (32), получим выражения радиуса кривизны в рассматриваемом случае:
где а есть угол, образуемый касательной с осью ОХ.
Если кривая задана неявно
то в силу формулы (25) получим следующее уравнение касательной
