§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ

70. Дифференциал дуги.

В интегральном исчислении будет показано, каким образом находится длина дуги кривой, будет выведено выражение для дифференциала длины дуги и будет доказано, что отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги стремится к единице, когда дуга беспредельно сжимается к точке.

Рис. 73.

Пусть дана некоторая кривая и будем отсчитывать на ней длину дуги от некоторой фиксированной точки А в определенном направлении (рис. 73). Пусть S — длина дуги AM от точки А до переменной точки М. Величина s, как и ордината у, является функцией абсциссы точки М. Если направление AM совпадает с принятым направлением кривой, то а в противном случае . Пусть и точки кривой и разность длин дуг AN и т. е. приращение длины дуги при переходе из М в N. Абсолютное значение есть длина дуги MN, взятая со знаком плюс. Из прямоугольного треугольника имеем

откуда

или

Касательная МТ, если она существует, является предельным положением секущей MN при стремлении N к М вдоль кривой, т. е. при

Переходя к пределу в предыдущем равенстве (предполагается существование касательной), получим, принимая во внимание, что, в силу сказанного выше

или

Мы должны брать знак если при возрастании и S возрастает, и знак (—), если s убывает при возрастании . Будем для определенности считать, что имеет место первый случай (изображенный на рис. 73). Из формулы (1) при этом следует

Если радикал считается положительным, то получается арифметическое значение Формула (2) является, по существу, иной записью предыдущей формулы или формулы (1). Она, как мы увидим в дальнейшем, удобна для приложений. Более подробное рассмотрение длины дуги будет дано в [103].

Естественным параметром при определении положения точки М на кривой является длина s дуги AM. Эту величину S можно принять за независимую переменную, и при этом координаты точки М будут функциями

Более подробно мы будем говорить о «параметрическом задании кривой» в [74]. Теперь мы выясним геометрический смысл производных от х и у по s.

Положим, что точка N расположена так, что направление дуги MN совпадает с принятым направлением кривой, т. е. При стремлении N к М направление секущей MN в пределе дает определенное направление касательной к кривой в точке М. Это направление касательной мы назовем положительным направлением касательной. Оно связано с принятым направлением самой кривой.

Пусть угол, образованный направлением MN с положительным направлением оси ОХ. Приращение абсциссы есть проекция отрезка MN на ось ОХ, и, следовательно,

причем в этом равенстве MN считается положительным. Деля обе части этого равенства на длину дуги MN, равную получим

По условию , а потому при стремлении N к М отношение стремится к а угол стремится к углу а, образованному положительным направлением касательной МТ с положительным направлением оси ОХ. Написанное выше равенство даст нам в пределе

Точно так же, проектируя MN на ось OY, получим