55. Дифференциалы высших порядков.

Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции Ее дифференциал

является, очевидно, функцией от но не надо забывать при этом, что дифференциал независимой переменной считается уже независящим от х [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель. Рассматривая как функцию от можно составить дифференциал этой функции; он называется дифференциалом второго порядка первоначальной функции и обозначается символами или

Составляя опять дифференциал полученной функции от придем к дифференциалу третьего порядка:

и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем к понятию о дифференциале порядка функции и получим для него выражение:

Эта формула позволяет представить производную порядка в виде частного:

Рассмотрим теперь случай сложной функции где и — функция некоторой независимой переменной. Мы знаем [50], что первый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как и в том случае, когда и — независимая переменная:

При определении дифференциалов высших порядков мы получим формулы, отличные по виду от формулы (2), ибо мы не имеем уже права считать величиной постоянной, так как и не является независимой переменной. Так, например, для дифференциала второго порядка будем иметь, применяя правило для нахождения дифференциала произведения, выражение

которое содержит, по сравнению с формулой (2), добавочное слагаемое

Если и есть независимая переменная, то надо считать величиной постоянной и Положим теперь, что и есть линейная функция независимой переменной t, т. е.

При этом есть опять величина постоянная, а потому дифференциалы высших порядков сложной функции будут выражены по формуле (2):

т. е. выражение (2) для дифференциалов высших порядков годится в том случае, если есть независимая переменная или линейная функция независимой переменной.