129. Разложение exp(x).
Прежде всего мы имеем
а потому
и формула Маклорена с остаточным членом (14) дает
Мы видели (пример [121]), что ряд
есть абсолютно сходящийся при всех конечных значениях х, а потому при всяком 
имеем
так как это выражение есть общий член сходящегося ряда. С другой стороны, множитель 
в выражении остаточного члена, наверно, не превосходит 
при 
и единицы при 
, а потому остаточный член стремится к нулю при всех значениях 
и мы получим разложение
которое имеет место при всех значениях 
В частности, при 
получаем выражение для 
, весьма удобное для вычисления 
с любой степенью точности
Пользуясь этой формулой, вычислим число 
с шестью десятичными знаками. Если мы приближенно положим
то ошибка будет
причем знак 
поставлен потому, что в знаменателе дробей множители 
меньшим числом 
отчего все дроби увеличились.
Можно поэтому указать следующие пределы, между которыми заключается число 
:
Если желаем получить для 
приближенное значение, отличающееся от истинного не более, чем на 0,000 001, положим 
тогда
и ошибка не превзойдет 
. В этой формуле первые два слагаемых вычисляются точно; остальные восемь слагаемых нужно вычислить с семью знаками, так как при этом ошибка каждого слагаемого не больше 0,5 единицы седьмого знака, т. е. 
а вся ошибка не больше
т. е. четырех единиц седьмого знака, а потому общая ошибка по абсолютному значению не будет превышать 
. Мы имеем
Значение 
с 12 знаками есть 2,718 281 828 459.
