87. Определенный интеграл как предел суммы.

Отметим на плоскости ХО У график функции f(x), причем мы считаем, что этот график представляет собою непрерывную кривую, лежащую целиком над осью ОХ, т. е. считаем, что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим площадь ограниченную осью ОХ, этим графиком и двумя ординатами и постараемся найти величину этой площади.

Разобьем для этого промежуток на частей в точках

Рассматриваемая площадь разобьется на вертикальных полос, причем полоса имеет основание длины . Обозначим через соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке т. е. наименьшую и наибольшую ординаты нашего графика в этом промежутке. Площадь полоски лежит между площадями двух прямоугольников с общим основанием и с высотами Эти прямоугольники являются входящим и выходящим прямоугольниками для полоски.

Рис. 116.

Рис. 117.

Таким образом, величина площади полоски заключается между площадями упомянутых двух прямоугольников, т. е. между двумя числами

а потому вся рассматриваемая площадь будет лежать между суммами площадей упомянутых входящих и выходящих прямоугольников, т. е. вся площадь будет лежать между суммами

Таким образом, мы имеем неравенство

Построим теперь вместо входящего и выходящего прямоугольников для каждой полоски какой-либо средний прямоугольник, принимая, как всегда, за основание и взяв за высоту какую-либо ординату нашего графика, соответствующую любой точке из промежутка

Рассмотрим сумму площадей этих средних прямоугольников:

Она, так же как и площадь будет заключаться между суммами площадей входящих и выходящих прямоугольников, т. е. мы будем иметь неравенство

Будем теперь беспредельно увеличивать число делений промежутка и притом так, чтобы наибольшая из разностей стремилась к нулю. Так как функция f (х) по условию непрерывна, то разность между наибольшим и наименьшим ее значениями в промежутке будет стремиться к нулю при беспредельном уменьшении длины этого промежутка, независимо от его положения в основном промежутке (а, b) (свойство непрерывной функции [35]). Таким образом, если мы обозначим через наибольшую из разностей

то, в силу сказанного, при упомянутом выше предельном переходе число будет стремиться к нулю. Определим теперь разность между суммой площадей выходящих прямоугольников и суммой площадей входящих прямоугольников:

откуда, заменяя все разности наибольшей и помня, что все разности положительны:

то

Мы можем, таким образом, написать

то

С другой стороны, при всяком мы имели

и величина площади есть определенное число.

Из формул (8) и (9) непосредственно следует, что величина площади является общим пределом т. е. площадей выходящих и входящих прямоугольников:

Так как, с другой стороны, сумма средних прямоугольников как мы видели, лежит между , то и она должна стремиться к площади т. е.

Эта сумма является более общей по сравнению с суммами так как в ней мы можем произвольно выбирать из промежутка и, в частности, можем брать равной наименьшей ординате тк или наибольшей При таком выборе сумма превращается в суммы

Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему:

Если функция непрерывна в промежутке и если мы, разбив этот промежуток на частей в точках

и обозначив через любое значение из промежутка вычислим соответствующее значение функции и составим сумму

то при беспредельном возрастании числа делений промежутка и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей эта сумма стремится к определенному пределу. Предел этот равен площади, ограниченной осью ОХ, графиком функции и двумя ординатами:

Упомянутый предел называется определенным интегралом от функции взятым по переменной между нижним пределом и верхним и обозначается следующим символом

Заметим, что существование предела суммы (10) при беспредельном уменьшении наибольшей из разностей сводится к следующему утверждению: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число , что

при любом разбиении и Ьыборе точек из промежутка если наибольшая из (положительных) разностей Этот предел и является определенным интегралом.

Отметим, что множество значений сумм (10) при всевозможных разбиениях промежутка на части и всевозможном выборе нельзя упорядочить так, чтобы образовалась упорядоченная переменная. Предел суммы надо понимать лишь так, как это указано выше (с помощью ).

Рис. 118.

Выше мы предполагали, что график функции находится целиком над осью ОХ, т. е. что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим теперь общий случай, при котором некоторые части этого графика находятся над осью, а другие под осью ОХ (рис. 118).

Если мы и в этом случае составим сумму (6), то слагаемые соответствующие частям графика, лежащим под осью ОХ, будут отрицательными, так как разность положительна и ордината отрицательна.

После перехода к пределу получится определенный интеграл, который будет учитывать площади, находящиеся над осью ОХ со знаком и под осью ОХ со знаком (—), т. е. в этом общем случае определенный интеграл

будет давать алгебраическую сумму площадей, заключенных между осью ОХ, графиком функции и ординатами При этом площади над осью ОХ будут получаться с положительным знаком, а под осью ОХ — с отрицательным.

Как мы увидим в дальнейшем, мы приходим к нахождению предела суммы вида (6) не только в вопросе вычисления площади, но и во многих, весьма разнообразных, других задачах естествознания. Приведем только один пример. Пусть некоторая точка М передвигается по оси ОХ от абсциссы к абсциссе и на нее действует некоторая сила Т, направленная также по оси ОХ. Если сила Т постоянная, то работа, которую она совершает при передвижении точки из положения в положение определяется произведением , т. e. произведением величины силы на пройденный точкой путь.

Если сила — переменная, то написанная формула больше неприменима. Положим, что величина силы зависит от положения точки на оси ОХ, т. е. является функцией абсциссы точки

Чтобы вычислить работу в этом случае, разобьем весь путь, пройденный точкой, на определенные части

и рассмотрим одну из этих частей . С ошибкой тем меньшей, чем меньше длина мы можем считать, что сила, действовавшая на точку при передвижении ее от постоянна и совпадает со значением этой силы в некоторой точке из промежутка Поэтому для работы на участке мы получим приближенное выражение

и для всей работы будем иметь приближенное пока выражение вида:

При беспредельном увеличении числа делений и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей мы получим в пределе определенный интеграл, дающий точную величину искомой работы:

Отвлекаясь от каких бы то ни было геометрических или механических истолкований, мы можем теперь установить понятие об определенном интеграле от функции по промежутку как о пределе суммы вида (6). Второй основной задачей интегрального исчисления и является изучение свойств определенного интеграла и, прежде всего, его вычисление. Если заданная функция, а заданные числа, то определенный интеграл

есть некоторое определенное число. Знак представляет собою измененную букву S и должен напоминать о той сумме, которая при предельном переходе дала величину определенного интеграла. Подынтегральное выражение должно напоминать о виде слагаемых этой суммы, а именно о

Буква стоящая под знаком определенного интеграла, называется обычно переменной интегрирования. Отметим по поводу этой буквы одно важное обстоятельство. Величина интеграла, как мы уже упомянули, есть определенное число, не зависящее, конечно, от обозначения переменной интегрирования х, и мы можем в определенном интеграле обозначать переменную интегрирования любой буквой. Это не будет иметь, очевидно, никакого влияния на величину интеграла, которая зависит лишь от того, каковы ординаты графика и пределы интегрирования а и b. Итак, обозначение независимой переменной никакой роли не играет, т. е., например,

Вторая задача, интегрального исчисления — вычисление определенного интеграла — представляет собою на первый взгляд довольно сложную задачу составления суммы вида (6) и затем перехода к пределу. Заметим, что при этом предельном переходе число слагаемых в упомянутой сумме будет беспредельно расти, а каждое из них будет стремиться к нулю. Кроме того, на первый взгляд эта вторая задача интегрального исчисления не имеет никакой связи с первой задачей о нахождении первообразной функции для заданной . В следующем номере мы покажем, что обе задачи тесно связаны одна с другой и что вычисление определенного интеграла совершается весьма просто, если известна первообразная функция для .