108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций.

Вычисление определенных интегралов на основании формулы (15) [96] с помощью первообразной функции не всегда возможно, так как, хотя первообразная функция и существует, если подынтегральная функция непрерывна, однако она далеко не всегда может быть найдена фактически, и даже тогда, когда ее можно найти, она имеет часто весьма сложный и неудобный для вычислений вид. Поэтому важное значение имеют способы приближенного вычисления определенных интегралов.

Большая часть их основывается на истолковании определенного интеграла как площади и как предела суммы

Во всем дальнейшем мы условимся раз навсегда делить промежуток на равных частей; длину каждой части обозначим через А, так что

Обозначим далее через значение подынтегральной функции при

Эти величины мы считаем известными; их можно получить непосредственным вычислением, если функция задана аналитически, или снять прямо с чертежа, если она изображена графически.

Полагая в сумме, стоящей в правой части или мы получим две приближенные формулы прямоугольников:

где знак обозначает приближенное равенство.

Чем больше число , т. е. чем меньше А, тем эти формулы будут точнее и в пределе, при и дадут точную величину определенного интеграла.

Рис. 146.

Таким образом, погрешности формул (40) и (41) стремятся к нулю при возрастании числа ординат. При данном же значении числа ординат верхний предел погрешности особенно просто определяется для того случая, когда данная функция монотонна в промежутке

В этом случае ясно непосредственно из чертежа, что погрешность каждой из формул (40) и (41) не превышает суммы площадей заштрихованных прямоугольников, т. е. не превышает площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной сумме высот заштрихованных прямоугольников, т. е. величины,

Формулы прямоугольников вводят вместо точного выражения площади кривой приближенное ее выражение — площадь ступенчатой ломаной линии, составленной из горизонтальных и вертикальных отрезков, ограничивающих прямоугольники.

Рис. 147.

Рис. 148.

Иные приближенные выражения мы получим, если вместо ступенчатой ломаной линии будем брать другие линии, которые достаточно мало отличаются от данной кривой; чем ближе такая вспомогательная линия подходит к кривой тем меньше будет погрешность, которую мы совершаем, приняв за величину площади — площадь, ограниченную вспомогательной линией.

Так, например, если мы заменим данную кривую вписанной в нее ломаной линией, ординаты которой при совпадают с ординатами данной кривой (рис. 147), другими словами, заменим рассматриваемую площадь суммою площадей вписанных в нее заштрихованных трапеций, то получим приближенную формулу трапеций: