176. Показательная функция.
Мы рассматривали раньше показательную функцию 
в случае вещественного показателя 
Обобщим теперь понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция 
может быть представлена в виде ряда [129]
Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т. е. положим
Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда
откуда, вспомнив разложения 
в ряд [130], получаем
Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя у на 
и решая уравнения (18) и (19) относительно 
, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:
Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль 
и аргумент 
Показательную функцию при любом комплексном показателе 
определяем формулой
т. е. модуль числа ехуь будем считать равным 
а аргумент равным у.
Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении. Пусть 
или, применяя правило умножения комплексных чисел [172],
Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою
Правило вычитания показателей при делении
может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель.
В случае целого положительного 
будем иметь 
Пользуясь формулами Эйлера, мы сможем выразить любую целую положительную степень 
, а также и произведение таковых степеней, в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синуса или косинуса кратных дуг:
Разложив правые части этих равенств по формуле бинома Ньютона, перемножив их и приведя в полученных разложениях показательные функции к тригонометрическим, согласно формулам (18) и (19), мы получаем искомое выражение.
Примеры. 1.
Заметим при этом, что любая целая степень 
и четная степень 
представляют собою четные функции 
, т. е. не меняют своей величины при замене 
на 
и выражение таких четных функций 
будет содержать лишь косинусы кратных дуг. Если же функция есть нечетная функция 
, т. е. если эта функция меняет знак при замене 
на 
как это будет иметь, например, место в случае нечетной степени 
то разложение такой функции будет содержать лишь синусы кратных дуг, и свободный член в этом разложении будет наверное отсутствовать. Все эти обстоятельства будут нами выяснены более подробно при изложении тригонометрических рядов.
